Question

9．如圖所示，P，Q為平行板電容器的兩個極板，在P板的正上方有一直角三角形區(qū)域ABC，該區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場，已知BC的長度為2a，∠ACB=45°，Q板上的0為粒子發(fā)射源，現(xiàn)有一質(zhì)量為m，電荷量為q的帶負(fù)電粒子從粒子發(fā)射源O發(fā)射（發(fā)射速度忽略不計）后經(jīng)電場加速，從P板上距離B點為$\sqrt{2}$a的小孔D垂直于BC進(jìn)入磁場，若粒子從D點進(jìn)入磁場后，經(jīng)時間t恰好在B點第一次與P板上表面相撞，不計粒子重力與空氣阻力影響．
（1）求PQ兩板之間的電勢差；
（2）若粒子從AB邊射出磁場，且該過程未與P板相撞，磁感應(yīng)強(qiáng)度應(yīng)滿足什么條件？
（3）若僅將磁場反向，要求粒子和P板至少相撞一次后射出磁場（上表面材料能夠保證粒子和P板相撞以后速率反彈且電荷量不變），磁感應(yīng)強(qiáng)度應(yīng)滿足什么條件？

Answer 1

分析 （1）粒子在電場中做勻變速運動，在磁場中做勻速圓周運動，由動能定理可以求出電勢差．
（2）粒子在磁場中做勻速運動運動，由牛頓第二定律求出磁感應(yīng)強(qiáng)度的最大與最小值，然后確定磁感應(yīng)強(qiáng)度的范圍．
（3）畫出可能的運動的軌跡，求出粒子的半徑，然后由半徑公式求出磁感應(yīng)強(qiáng)度．

解答 解：（1）粒子運動軌跡如圖所示：

由幾何知識可得：粒子的軌道半徑R₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$  ①，
粒子運動時間：t=$\frac{π{R}_{1}}{v}$  ②，
所以，粒子的是v=$\frac{\sqrt{2}πa}{2t}$  ③
粒子在平行板電容器中加速，由動能定理得：qU=$\frac{1}{2}$mv²，
解得：U=$\frac{m{π}^{2}{a}^{2}}{4q{t}^{2}}$；
（2）粒子恰從B點射出時，粒子半徑最小，磁感應(yīng)強(qiáng)度最大，
粒子在磁場中做圓周運動的周期：T=$\frac{2πm}{q{B}_{1}}$，T=2t，解得：B₁=$\frac{πm}{qt}$，
粒子和AC邊相切時，粒子軌道半徑最大，軌跡如圖所示，

此時磁感應(yīng)強(qiáng)度最小，由數(shù)學(xué)知識可知：R₂=$\sqrt{2}$a，
由牛頓第二定律得：qvB₂=m$\frac{{v}^{2}}{{R}_{2}}$，解得：B₂=$\frac{πm}{2qt}$，
磁感應(yīng)強(qiáng)度應(yīng)滿足的關(guān)系：$\frac{πm}{2qt}$≤B≤$\frac{πm}{qt}$；
（3）磁場反向后，要求粒子和P板至少相撞一次后射出磁場，則圓軌跡與AC相切時的半徑最大，運動軌跡如圖所示，

由幾何知識可知，${R}_{3}+\sqrt{2}{R}_{3}$=2a-$\sqrt{2}$a，
得：${R}_{3}=\frac{2-\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}a$，
由半徑公式：${R}_{3}=\frac{mv}{q{B}_{3}}$
得：${B}_{3}=\frac{mv}{q{R}_{3}}=\frac{（1+\sqrt{2}）^{2}m}{2qt}$；
要求粒子和P板至少相撞一次后射出磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度應(yīng)滿足：${B}_{3}≥\frac{{（1+\sqrt{2}）}^{2}m}{2qt}$
答：（1）電容器兩板之間的電勢差是$\frac{m{π}^{2}{a}^{2}}{4q{t}^{2}}$；
（2）粒子未與M板相撞而從AD邊射出，感應(yīng)強(qiáng)度應(yīng)滿足的條件是：$\frac{πm}{2qt}$≤B≤$\frac{πm}{qt}$；
（3）要求粒子和P板至少相撞一次后射出磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度應(yīng)滿足：${B}_{3}≥\frac{{（1+\sqrt{2}）}^{2}m}{2qt}$．

點評 本題考查了粒子在電場與磁場中的運動，分析清楚粒子運動過程、作出粒子運動軌跡是正確解題的前提與關(guān)鍵，應(yīng)用動能定理、牛頓第二定律、運動學(xué)公式即可正確解題．