Question

17．兩個行星的質(zhì)量分別為m₁ m₂，繞太陽運行的軌道半徑為r₁、r₂，若他們只受太陽的引力作用，那么這兩顆行星的向心加速度之比為$\frac{{r}_{2}^{2}}{{r}_{1}^{2}}$，周期之比為$\sqrt{\frac{{r}_{1}^{2}}{{r}_{2}^{3}}}$．

Answer 1

分析 行星繞太陽圓周運動的向心力由萬有引力提供，根據(jù)半徑關(guān)系求得向心加速度和周期之比．

解答 解：萬有引力提供行星圓周運動的向心力即：
$G\frac{mM}{{r}^{2}}=ma=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
可得行星的向心加速度a=$\frac{GM}{{r}^{2}}$，所以$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}=（\frac{{r}_{2}}{{r}_{1}}）^{2}$=$\frac{{r}_{2}^{2}}{{r}_{1}^{2}}$
行星的周期T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{GM}}$，所以$\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}=\sqrt{（\frac{{r}_{1}}{{r}_{2}}）^{3}}$=$\sqrt{\frac{{r}_{1}^{2}}{{r}_{2}^{3}}}$
故答案為：$\frac{{r}_{2}^{2}}{{r}_{1}^{2}}$，$\sqrt{\frac{{r}_{1}^{2}}{{r}_{2}^{3}}}$．

點評 行星繞太陽圓周運動的向心力由萬有引力提供，熟練掌握萬有引力公式及向心力的不同表達式是正確解題的關(guān)鍵．