Question

6．一個(gè)質(zhì)量m=1kg物體，以初速度v₀=4m/s從斜面上A點(diǎn)沿斜面向上運(yùn)動(dòng)，物體沿斜面向上運(yùn)動(dòng)的最大距離L=1.2m，經(jīng)過一段時(shí)間后物體再返回到A點(diǎn)，此時(shí)物體速率v_t=2m/s，且返回到A點(diǎn)之前物體已做勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)斜面的傾角α=37°，物體與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5，物體在運(yùn)動(dòng)過程中受到的空氣阻力大小與其速率成正比．試求：
（1）物體在運(yùn)動(dòng)過程中受到的空氣阻力與速率的比例系數(shù)k；
（2）物體剛沿斜面向上運(yùn)動(dòng)時(shí)的瞬間加速度大小；
（3）物體從開始沿斜面向上運(yùn)動(dòng)到返回出發(fā)點(diǎn)所用的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）勻速運(yùn)動(dòng)過程中，根據(jù)共點(diǎn)力的平衡條件列方程求解比例系數(shù)k；
（2）根據(jù)牛頓第二定律列方程求解加速度大�。�
（3）物體沿斜面向上運(yùn)動(dòng)時(shí)根據(jù)牛頓第二定律求解極短時(shí)間內(nèi)的加速度，對(duì)物體沿斜面向上運(yùn)動(dòng)的全過程累加求和得到時(shí)間和速度變化的表達(dá)式，求解上滑過程中的時(shí)間，由此方法在求解下滑過程中的時(shí)間，即可求解總時(shí)間．

解答 解：（1）設(shè)空氣阻力為f，則：f=kv；
勻速運(yùn)動(dòng)過程中，根據(jù)共點(diǎn)力的平衡條件可得：mgsinα=kv₁+μmgcosα，
解得：k=1kg/s；
（2）設(shè)剛拋出時(shí)物體的加速度為a₀，
根據(jù)牛頓第二定律可得：mgsinα+μmgcosα+kv₀=ma₀，
 解得：a₀=gsinα+μgcosα+$\frac{k{v}_{0}}{m}$=（10×0.6+0.5×10×0.8+$\frac{1×4}{1}$）m/s²=14m/s²；
（3）設(shè)物體沿斜面向上運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度為a，以沿斜面向上為正方向
則根據(jù)牛頓第二定律可得：a=-gsinα-μgcosα-$\frac{kv}{m}$
取對(duì)物體取極短△t時(shí)間有：a=-gsinα-μgcosα-$\frac{kv}{m}$=$\frac{△v}{△t}$，
即：（-gsinα-μgcosα）△t-$\frac{kv}{m}$△t=△v
解得：-（gsinα+μgcosα）△t-$\frac{k}{m}$△x=△v
對(duì)物體沿斜面向上運(yùn)動(dòng)的全過程累加求和有：
-（gsinα+μgcosα）（△t₁+△t₂+△t₃+…）-$\frac{k}{m}$（△x₁+△x₂+△x₃+…）=△v₁+△v₂+△v₃+…
即：-（gsinα+μgcosα）t₁-$\frac{k}{m}L$=0-v₀；
得：t₁=0.28s；
同理對(duì)物體沿斜面向下運(yùn)動(dòng)的全過程有：（gsinα-μgcosα）t₂-$\frac{k}{m}L$=v_t-0；
解得：t₂=1.6s；
所以總時(shí)間：t=t₁+t₂=0.28s+1.6s=1.88s．
答：（1）物體在運(yùn)動(dòng)過程中受到的空氣阻力與速率的比例系數(shù)k為1kg/s；
（2）物體剛沿斜面向上運(yùn)動(dòng)時(shí)的瞬間加速度大小14m/s²；
（3）物體從開始沿斜面向上運(yùn)動(dòng)到返回出發(fā)點(diǎn)所用的時(shí)間1.88s．

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于牛頓第二定律的綜合應(yīng)用問題，關(guān)鍵是弄清楚物體的運(yùn)動(dòng)過程和受力情況，利用牛頓第二定律或運(yùn)動(dòng)學(xué)的計(jì)算公式求解加速度，再根據(jù)題目要求進(jìn)行解答；知道加速度是聯(lián)系靜力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)的橋梁．