Question

【題目】光滑水平平臺(tái)AB上有一根輕彈簧，一端固定于A，自然狀態(tài)下另一端恰好在B。平臺(tái)B端連接兩個(gè)內(nèi)壁光滑、半徑均為R=0.2m的1/4細(xì)圓管軌道BC和CD。D端與水平光滑地面DE相接。E端通過(guò)光滑小圓弧與一粗糙斜面EF相接，斜面與水平面的傾角θ可在0°≤θ≤75°范圍內(nèi)變化（調(diào)節(jié)好后即保持不變）。一質(zhì)量為m=0.1kg的小物塊（略小于細(xì)圓管道內(nèi)徑）將彈簧壓縮后由靜止開(kāi)始釋放，被彈開(kāi)后以v0=2m/s進(jìn)入管道。小物塊與斜面的滑動(dòng)摩擦系數(shù)為，取g=10m/s2，不計(jì)空氣阻力;

（1）求物塊過(guò)B點(diǎn)時(shí)對(duì)細(xì)管道的壓力大小和方向；

（2）當(dāng)θ取何值時(shí)，小物塊在EF上向上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最短？求出最短時(shí)間。

（3）求θ取不同值時(shí)，在小物塊運(yùn)動(dòng)的全過(guò)程中產(chǎn)生的摩擦熱量Q與tanθ的關(guān)系式。

Answer 1

【答案】（1）1N，方向豎直向上（2）0.3s（3）

【解析】（1）設(shè)軌道對(duì)物塊的壓力豎直向下，由牛頓第二定律得：

解得：F=1N

由牛頓第三定律，物塊對(duì)軌道的壓力大小為，方向豎直向上

（2）物塊到達(dá)DE時(shí)的速度為v，根據(jù)動(dòng)能定理得：

解得：

沿斜面上滑，根據(jù)牛頓第二定律得：

上滑時(shí)間為：

聯(lián)立可得：

由數(shù)學(xué)知識(shí)可得，當(dāng)時(shí)，有

（3）物塊恰好能在斜面上保持靜止，根據(jù)平衡條件有： ， ，則當(dāng)，滑塊在EF上停下后即保持靜止

在EF上滑行的距離為： ，產(chǎn)生的摩擦熱量為：

化簡(jiǎn)得：

當(dāng)，滑塊在EF上停下后返回，經(jīng)多次往復(fù)運(yùn)動(dòng)后，最終靜止于E點(diǎn)

產(chǎn)生的摩擦熱量為：