Question

9．如圖所示，在電子槍右側(cè)依次存在加速電場(chǎng)，兩水平放置的平行金屬板和豎直放置的熒光屏．加速電場(chǎng)的電壓為U₁．兩平行金屬板的板長(zhǎng)、板間距離均為d．熒光屏距兩平行金屬板右側(cè)距離也為d．電子槍發(fā)射的質(zhì)量為m、電荷量為-e的電子，從兩平行金屬板的中央穿過(guò)，打在熒光屏的中點(diǎn)O．不計(jì)電子在進(jìn)入加速電場(chǎng)前的速度及電子重力．

（1）求電子進(jìn)入兩金屬板間時(shí)的速度大小v₀；
（2）若兩金屬板間只存在方向垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，求電子到達(dá)熒光屏的位置與O點(diǎn)距離的最大值y_m和此時(shí)磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小；
（3）若兩金屬板間只存在豎直方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，兩板間的偏轉(zhuǎn)電壓為U₂，電子會(huì)打在熒光屏上某點(diǎn)，該點(diǎn)距O點(diǎn)距離為y_m=$\frac{11}{6}$d，求此時(shí)U₁與U₂的比值；若使電子打在熒光屏上某點(diǎn)，該點(diǎn)距O點(diǎn)距離為d，只改變一個(gè)條件的情況下，請(qǐng)你提供一種方案，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）電子經(jīng)電場(chǎng)加速后的速度可以通過(guò)動(dòng)能定理求得；
（2）電子經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后，沿直線運(yùn)動(dòng)到熒光屏，電子偏轉(zhuǎn)的臨界狀態(tài)是恰好不撞在上板的右端，到達(dá)熒光屏的位置與O點(diǎn)距離即為最大值，磁感應(yīng)強(qiáng)度可以通過(guò)圓周運(yùn)動(dòng)向心力公式和幾何關(guān)系求得；
（3）應(yīng)用類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律與勻速運(yùn)動(dòng)規(guī)律分析答題．

解答 解：（1）設(shè)電子經(jīng)電場(chǎng)加速后進(jìn)入偏轉(zhuǎn)場(chǎng)區(qū)的速度大小為v₀，
由動(dòng)能定理得：$e{U_1}=\frac{1}{2}mv_0^2$  ①
解得：${v_0}=\sqrt{\frac{{2e{U_1}}}{m}}$  ②
（2）偏轉(zhuǎn)場(chǎng)區(qū)中只有勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)，電子進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)受洛侖茲力作用做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后，
沿直線運(yùn)動(dòng)到熒光屏．磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度越大，偏轉(zhuǎn)越大，電子偏轉(zhuǎn)的臨界狀態(tài)是恰好從上板的右端射出，
做直線運(yùn)動(dòng)到達(dá)熒光屏．它的位置與O點(diǎn)距離即為最大值F，如圖所示．

電子做圓周運(yùn)動(dòng)，有：${L_1}={L_0}-\frac{2mg}{k}$  ③
由圖可：${（R-\fracxcd5jsm{2}）^2}+{d^2}={R^2}$  ④
$tanα=\fracx9uplfc{{R-\fracpohe6oc{2}}}=\frac{{{y_m}-\frac6ds0mj5{2}}}e6tjrpl$  ⑤
可得：$R=\frac{5}{4}d$，${y_m}=\frac{11}{6}d$  ⑥
由③式和 ${v_0}=\sqrt{\frac{{2e{U_1}}}{m}}$
解得：$B=\frac{{4m{v_0}}}{5ed}=\frac{4}{5d}\sqrt{\frac{{2m{U_1}}}{e}}$  ⑦
（3）偏轉(zhuǎn)區(qū)內(nèi)只有勻強(qiáng)電場(chǎng)時(shí)，電子進(jìn)入偏轉(zhuǎn)區(qū)做勻加速曲線運(yùn)動(dòng)，如圖所示．

離開(kāi)偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)沿電場(chǎng)方向的位移$y=\frac{1}{2}a{t^2}=\frac{{{U_2}e{d^2}}}{{2mdv_{_0}^2}}=\frac{{{U_2}e{d^2}}}{{4{U_1}ed}}=\frac{{{U_2}d}}{{4{U_1}}}$
速度方向偏轉(zhuǎn)角設(shè)為θ，$tanθ=\frac{v_y}{v_0}=\frac{{\frac{{{U_2}e}}{md}•\fracrxfqmor{v_0}}}{v_0}=\frac{U_2}{{2{U_1}}}$
打到熒光屏的位置距O點(diǎn)的距離$Y=y+dtanθ=\frac{{3{U_2}d}}{{4{U_1}}}=\fracciinx1l{2}$  ⑧
可得：$\frac{U_1}{U_2}=\frac{3}{2}$，
由$Y=\frac{{3{U_2}d}}{{4{U_1}}}$可知，改變加速電壓U₁或偏轉(zhuǎn)電壓U₂的大小，即可改變電子打到熒光屏的位置：
方案一：保持U₁的大小不變，將偏轉(zhuǎn)電壓U₂加倍即可．
方案二：保持U₂的大小不變，將加速電壓U₁減半即可．
答：（1）電子進(jìn)入兩金屬板間時(shí)的速度大小v₀為$\sqrt{\frac{2e{U}_{1}}{m}}$；
（2）電子到達(dá)熒光屏的位置與O點(diǎn)距離的最大值y_m為：$\frac{11}{6}$d，此時(shí)磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為$\frac{4}{5d}\sqrt{\frac{2m{U}_{1}}{e}}$；
（3）此時(shí)U₁與U₂的比值為：3：2；保持U₁的大小不變，將偏轉(zhuǎn)電壓U₂加倍即可．

點(diǎn)評(píng) 該題涉及到帶電粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)情況，對(duì)同學(xué)們的分析能力和數(shù)學(xué)功底要求較高，難度很大，屬于難題．根據(jù)題意作出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡是正確解題的關(guān)鍵．