Question

【題目】自然界真是奇妙，微觀世界的運(yùn)動(dòng)規(guī)律竟然與宏觀運(yùn)動(dòng)規(guī)律存在相似之處。

(1)在地心參考系中，星體離地心的距離 時(shí)，星體的引力勢(shì)能為零。質(zhì)量為m的人造衛(wèi)星以第二宇宙速度從地面發(fā)射，運(yùn)動(dòng)到離地心距離為r時(shí)，其運(yùn)動(dòng)速度為 (G為引力常量，M為地球質(zhì)量)。它運(yùn)動(dòng)到離地心無窮遠(yuǎn)處，相對(duì)于地球的運(yùn)動(dòng)速度為零。請(qǐng)推導(dǎo)此衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)到離地心距離為r時(shí)的引力勢(shì)能表達(dá)式。

(2)根據(jù)玻爾的氫原子模型，電子的運(yùn)動(dòng)看做經(jīng)典力學(xué)描述下的軌道運(yùn)動(dòng)，原子中的電子在庫(kù)侖力作用下，繞原子核做圓周運(yùn)動(dòng)。

①已知電子質(zhì)量為m，電荷量為e，靜電力常量為k。氫原子處于基態(tài)(n=1)時(shí)電子的軌道半徑為r1，電勢(shì)能為 (取無窮遠(yuǎn)處電勢(shì)能為零)。氫原子處于第n個(gè)能級(jí)的能量為基態(tài)能量的 (n=1,2,3，…)。求氫原子從基態(tài)躍遷到n=2的激發(fā)態(tài)時(shí)吸收的能量。

②一個(gè)處于基態(tài)且動(dòng)能為的氫原子與另一個(gè)處于基態(tài)且靜止的氫原子進(jìn)行對(duì)心碰撞。若要使其中一個(gè)氫原子從基態(tài)躍遷到激發(fā)態(tài)，則 至少為多少？

Answer 1

【答案】（1） （2） ； 至少為

【解析】（1）衛(wèi)星在距地心r處的動(dòng)能

衛(wèi)星距地心r處運(yùn)動(dòng)到無窮遠(yuǎn)的過程中，由機(jī)械能守恒定律可得得

（2）①電子繞原子核做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，

故處于基態(tài)的氫原子的電子的動(dòng)能，

由題意可知處于基態(tài)的氫原子的能量，解得

又因?yàn)?/span>，得

②設(shè)氫原子質(zhì)量為m，初速度為氫原子相互作用后速度分別為和，相互作用過程中機(jī)械能減少量為

由動(dòng)量守恒定律可得

由能量守恒可得，解得

若有示數(shù)解，須，即

即氫原子能從n=1的基態(tài)躍遷到n=2的激發(fā)天，需要吸收的能量為，所以要使其中一個(gè)氫原子從基態(tài)躍遷到激發(fā)天， 至少為．