Question

14．如圖所示，原點(diǎn)O為兩個(gè)大小不同的同心圓的圓心．半徑為r的小圓區(qū)域I內(nèi)有方向垂直xoy平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，兩圓之間的環(huán)形區(qū)域II內(nèi)也有方向垂直于xoy平面的另一勻強(qiáng)磁場(chǎng)．一質(zhì)量為m、電量為q、初速度為v₀的帶正電粒子從坐標(biāo)為（0，r）的A點(diǎn)沿-y方向射入?yún)^(qū)域I，然后從x軸上的P點(diǎn)沿+x方向射出，粒子經(jīng)過(guò)區(qū)域II后從Q點(diǎn)第2次射入?yún)^(qū)域I，已知OQ與+x方向成60°．角．不計(jì)粒子的重力．
（1）求區(qū)域I中磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁的大�。�
（2）求環(huán)形區(qū)域II中磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂的大小、方向；
（3）若要使粒子約束在磁場(chǎng)內(nèi)，求大圓半徑R的最小值；
（4）求粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期T．

Answer 1

分析 （1）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)Ⅰ做圓周運(yùn)動(dòng)，由幾何關(guān)系求出軌跡半徑，由牛頓第二定律求解磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁的大�。�
（2）在環(huán)形區(qū)域Ⅱ中，當(dāng)粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡與外圓相切，畫(huà)出軌跡，由幾何關(guān)系求解軌跡半徑，再求解B₂的大�。�
（3）作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡，求出粒子軌道半徑．
（4）根據(jù)粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡所對(duì)應(yīng)的圓心角，再求解運(yùn)動(dòng)周期．

解答 解：（1）設(shè)在區(qū)域Ⅰ內(nèi)軌跡圓半徑為r₁=r；
由牛頓第二定律得：qv₀B₁=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{{r}_{1}}$，
解得：B₁=$\frac{m{v}_{0}}{qr}$；
（2）設(shè)粒子在區(qū)域Ⅱ中的軌跡圓半徑為r₂，部分軌跡如圖所示：

由幾何關(guān)系知：r₂=$\frac{\sqrt{3}}{3}$r₁，
 由牛頓第二定律得：qv₀B₂=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{{r}_{2}}$，
所以：B₂=$\sqrt{3}$B₁=$\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}}{qr}$，方向與B₁相反，即垂直xoy平面向外；
（3）由幾何關(guān)系得：R=2r₂+r₂=3r₂，
即：R=$\sqrt{3}$r；
（4）軌跡從A點(diǎn)到Q點(diǎn)對(duì)應(yīng)圓心角θ=90°+60°=150°，要仍從A點(diǎn)沿y軸負(fù)方向射入，需滿足；   
150n=360m，m、n屬于自然數(shù)，即取最小整數(shù)m=5，n=12，
 T=12×（$\frac{1}{4}$T₁+$\frac{2}{3}$T₂），其中：T₁=$\frac{2πm}{q{B}_{1}}$，T₂=$\frac{2πm}{q{B}_{2}}$，
解得：T=（$\frac{16\sqrt{3}}{3}$+6）$\frac{πr}{{v}_{0}}$．
答：（1）區(qū)域I中磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁的大小為$\frac{m{v}_{0}}{qr}$；
（2）環(huán)形區(qū)域II中磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂的大小為$\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}}{qr}$，方向：垂直于紙面向外；
（3）若要使粒子約束在磁場(chǎng)內(nèi)，大圓半徑R的最小值為$\sqrt{3}$r；
（4）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期T為（$\frac{16\sqrt{3}}{3}$+6）$\frac{πr}{{v}_{0}}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握帶電粒子在有界磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，如何確定圓心、半徑．