Question

1．太原中環(huán)快速路是太原市區(qū)首條壞形快速路，全線為加強(qiáng)型城市主干道，主線沒(méi)有紅綠燈，中環(huán)路上汽車的最高限速是80km/h（取22m/s）．已知汽車輪胎與地面的最大靜摩擦力等于車重的0.5倍，當(dāng)汽車以最高限速運(yùn)動(dòng)時(shí)，問(wèn)：（g=10m/s²）
（1 ）若汽車在水平路面上拐彎，要使汽車不發(fā)生側(cè)滑，則磚彎的最小半徑是多大？
（2）在道路的彎道處，路面外高內(nèi)低，路面與水平面間的夾角為θ，且tanθ=0.25．若車輪與路面間的側(cè)向摩擦力恰好為零，則彎道的半徑是多大？
（3）中環(huán)路上設(shè)計(jì)了圓弧拱橋?qū)崿F(xiàn)立體交叉，要使汽車能安全通過(guò)拱橋，則拱橋的最小半徑是多大？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)最大靜摩擦力提供向心力求出轉(zhuǎn)彎的最小半徑．
（2）根據(jù)重力和支持力的合力提供向心力求出彎道的半徑．
（3）抓住支持力為零，結(jié)合重力提供向心力求出拱橋的最小半徑．

解答 解：（1）設(shè)地面對(duì)汽車的最大靜摩擦力為f_m，
f_m=0.5mg，
根據(jù)${f}_{m}=m\frac{{v}^{2}}{{r}_{1}}$得，轉(zhuǎn)彎的最小半徑${r}_{1}=\frac{{v}^{2}}{0.5g}=\frac{2{2}^{2}}{5}m$=96.8m．
（2）設(shè)地面對(duì)汽車的支持力為F_N，
${F}_{N}sinθ=m\frac{{v}^{2}}{{r}_{2}}$，
F_Ncosθ=mg，
代入數(shù)據(jù)解得r₂=193.6m．
（3）根據(jù)mg=m$\frac{{v}^{2}}{{r}_{3}}$得，
拱橋的最小半徑${r}_{3}=\frac{{v}^{2}}{g}=\frac{2{2}^{2}}{10}m=48.4m$．
答：（1）若汽車在水平路面上拐彎，要使汽車不發(fā)生側(cè)滑，則磚彎的最小半徑是96.8m；
（2）彎道的半徑是193.6m；
（3）拱橋的最小半徑是48.4m．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道汽車做圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來(lái)源，抓住臨界狀態(tài)，結(jié)合牛頓第二定律進(jìn)行求解．