Question

【題目】如圖甲，單匝圓形線圈c與電路連接，電阻R2兩端與平行光滑金屬直導(dǎo)軌p1e1f1、p2e2f2連接．垂直于導(dǎo)軌平面向下、向上有矩形勻強(qiáng)磁場區(qū)域Ⅰ、Ⅱ，它們的邊界為e1e2 ， 區(qū)域Ⅰ中垂直導(dǎo)軌并緊靠e1e2平放一導(dǎo)體棒ab．兩直導(dǎo)軌分別與同一豎直平面內(nèi)的圓形光滑絕緣導(dǎo)軌o1、o2相切連接，o1、o2在切點(diǎn)f1、f2處開有小口可讓ab進(jìn)入，ab進(jìn)入后小口立即閉合．
已知：o1、o2的直徑和直導(dǎo)軌間距均為d，c的直徑為2d；電阻R1、R2的阻值均為R，其余電阻不計(jì)；直導(dǎo)軌足夠長且其平面與水平面夾角為60°，區(qū)域Ⅰ的磁感強(qiáng)度為B0 ． 重力加速度為g．在c中邊長為d的正方形區(qū)域內(nèi)存在垂直線圈平面向外的勻強(qiáng)磁場，磁感強(qiáng)度B隨時(shí)間t變化如圖乙所示，ab在t=0～ 內(nèi)保持靜止．

（1）求ab靜止時(shí)通過它的電流大小和方向；
（2）求ab的質(zhì)量m；
（3）設(shè)ab進(jìn)入圓軌道后能達(dá)到離f1f2的最大高度為h，要使ab不脫離圓形軌道運(yùn)動(dòng)，求區(qū)域Ⅱ的磁感強(qiáng)度B2的取值范圍并討論h與B2的關(guān)系式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由法拉第電磁感應(yīng)定律得c內(nèi)感生電動(dòng)勢 E=S =d2 ①

由全電路歐姆定律有 E=IR ②（R2被ab短路）

聯(lián)立①②解得：I= = ③

根據(jù)楞次定律和右手螺旋定則（或者平衡條件和左手定則）判斷知ab中電流方向?yàn)閍→b ④

（2）

解：由題意可知導(dǎo)軌平面與水平面夾角為 θ=60°，

對在t=0～ 內(nèi)靜止的ab受力分析有 mgsinθ=B0Id ⑤

聯(lián)立③⑤解得：m= = ⑥

（3）

解：由題意知t= 后，c內(nèi)的磁感強(qiáng)度減為零，ab滑入?yún)^(qū)域Ⅱ，

由直導(dǎo)軌足夠長可知ab進(jìn)入圓形軌道時(shí)已達(dá)勻速直線運(yùn)動(dòng)，

設(shè)此時(shí)ab為v，其電動(dòng)勢為E2，電流為I2，

由平衡條件得 mgsinθ=B2I2d ⑦

由法拉第電磁感應(yīng)定律得動(dòng)生電動(dòng)勢 E2=B2dv ⑧

由全電路歐姆定律有 E2= ⑨（R1、R2并聯(lián)）

聯(lián)立⑥⑦⑧⑨解得 v= = ⑩

由題意可知ab滑不過圓心等高點(diǎn)或者滑過圓軌道最高點(diǎn)均符合題意，分類討論如下：

（ⅰ）當(dāng) mg 即 B2≥ 時(shí)，

ab上滑過程由動(dòng)能定理得 mgh= ，即h=

（ⅱ） 設(shè)ab能滑到圓軌道最高點(diǎn)時(shí)速度為v1，根據(jù)牛頓第二定律應(yīng)滿足 mg≤

所以當(dāng) ﹣mg （1+cosθ）≥ 即B2≤ 時(shí)，

ab能滑到圓軌道最高點(diǎn)，有 h= =

【解析】（1）ab靜止時(shí)，由法拉第電磁感應(yīng)定律求出c內(nèi)感生電動(dòng)勢的大小，由歐姆定律求出電流的大小，由楞次定律判斷電流的方向．（2）ab靜止時(shí)受力平衡，重力沿導(dǎo)軌向下的分力與安培力二力平衡，由平衡條件列式可求ab的質(zhì)量．（3）由題意知t= 后，c內(nèi)的磁感強(qiáng)度減為零，ab滑入?yún)^(qū)域Ⅱ磁場，由于此段足夠長，ab最終應(yīng)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，由平衡條件可求出其勻速運(yùn)動(dòng)的速度表達(dá)式．要使ab不脫離圓形軌道運(yùn)動(dòng)，有兩種情況：ab滑不過圓心等高點(diǎn)或者滑過圓軌道最高，根據(jù)機(jī)械能守恒定律和圓周運(yùn)動(dòng)最高點(diǎn)的臨界條件結(jié)合解答．