Question

18．如圖所示，在無限長的豎直邊界AC和DE間，上、下部分分別充滿方向垂直于ADEC平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，上部分區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B₀，OF為上、下磁場(chǎng)的水平分界線．質(zhì)量為m、帶電荷量為+q的粒子從AC邊界上與O點(diǎn)相距為a的P點(diǎn)垂直于AC邊界射入上方區(qū)域，經(jīng)OF上的Q點(diǎn)第一次進(jìn)入下方區(qū)域，Q與O點(diǎn)的距離為3a．不考慮粒子重力
（1）求粒子射入時(shí)的速度大小；
（2）要使粒子不從AC邊界飛出，求下方區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度應(yīng)滿足的條件；
（3）若下方區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度B=3B₀，粒子最終垂直DE邊界飛出，求邊界DE與AC 間距離的可能值．

Answer 1

分析 （1）由幾何關(guān)系確定粒子半徑，再由洛侖茲力充當(dāng)向心力可求得速度；
（2）根據(jù)臨界條件可求出粒子的半徑，再由洛侖茲力充當(dāng)向心力可求得磁感應(yīng)強(qiáng)的范圍；
（3）根據(jù)幾何關(guān)系確定粒子可能的軌跡，再由幾何關(guān)系確定距離的可能值．

解答 解：（1）設(shè)粒子在OF上方做圓周運(yùn)動(dòng)半徑為R，由幾何關(guān)系可知；
R²-（R-a）²=（3a）²
R=5a
由牛頓第二定律可知：qvB₀=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：v=$\frac{5aq{B}_{0}}{m}$；
（2）當(dāng)粒子恰好不從AC邊界飛出時(shí)，設(shè)粒子在OF下方做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r₁，由幾何關(guān)系得：
r₁+r₁cosθ=3a
cosθ=$\frac{3}{5}$
所以r₁=$\frac{15a}{8}$
根據(jù)qvB₁=$\frac{m{v}^{2}}{{r}_{1}^{\;}}$
解得：B₁=$\frac{8{B}_{0}}{3}$
當(dāng)B₁＞$\frac{8{B}_{0}}{3}$時(shí)，粒子不會(huì)從AC邊界飛出．
（3）當(dāng)B=3B₀時(shí)，粒子在OF下方的運(yùn)動(dòng)半徑為：r=$\frac{5}{3}$a
設(shè)粒子的速度方向再次與射入磁場(chǎng)時(shí)的速度方向一致時(shí)的位置為P₁，則P與P1的連線一定與OF平行，根據(jù)幾何關(guān)系知：
PP₁=3a+（3a-2rcosθ）
解得：$\overline{P{P}_{1}}$=4a；
所以若粒子最終垂直DE邊界飛出，邊界DE與AC間的距離為：L=n$\overline{P{P}_{1}}$=4na（n=1，2，3…）；
答：（1）粒子射入時(shí)的速度大小為$\frac{5aq{B}_{0}}{m}$；
（2）B₁＞$\frac{8{B}_{0}}{3}$時(shí)，粒子不會(huì)從AC邊界飛出；
（3）若下方區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度B=3B₀，粒子最終垂直DE邊界飛出，邊界DE與AC間的距離為4na（n=1，2，3…）；

點(diǎn)評(píng) 帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵在于分析粒子的運(yùn)動(dòng)情況，明確粒子可能運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)幾何關(guān)系確定圓心和半徑；同時(shí)注意臨界條件的應(yīng)用才能順利求解．