Question

如圖所示，質量為m的小球，由長為l的細線系住，線能承受的最大拉力是9mg，細線的另一端固定在A點，AB是過A的豎直線，E為AB上的一點，且AE=0.5l，過E作水平線EF，在EF上釘鐵釘D，現將小球拉直水平，然后由靜止釋放，小球在運動過程中，不計細線與釘子碰撞時的能量損失，不考慮小球與細線間的碰撞．

（1）若釘鐵釘位置在E點，求細線與釘子碰撞前后瞬間，細線的拉力分別是多少？

（2）若小球能繞釘子在豎直面內做完整的圓周運動，求釘子位置在水平線EF上距E點距離的取值．

Answer 1

考點：

動能定理；牛頓第二定律；勻速圓周運動；機械能守恒定律．
專題：	力學綜合性應用專題．
分析：	（1）若釘子在E點，則小球經過B點前后瞬間，速度大小不變，半徑變?yōu)樵瓉硪话�，先根據動能定理求出到達B點的速度，再根據向心力公式分別求出繩子的拉力； （2）設在D點繩剛好承受最大拉力，當小球落到D點正下方時，繩受到的最大拉力為F，此時小球的速度v1，由牛頓第二定律及機械能守恒定律列式求解 x的最大值，小球恰好能在豎直平面內做圓周運動，在最高點重力提供向心力，列出方程，從釋放到運動到最高點的過程中運用動能定理列出方程，聯立即可求解最小值，從而求出范圍．
解答：	解：（1）小球釋放后沿圓周運動，運動過程中機械能守恒，設運動到最低點速度為v，由機械能守恒定律得： mgl=，碰釘子瞬間前后小球運動的速率不變，碰釘子前瞬間圓周運動半徑為l，碰釘子前瞬間線的拉力為F1，碰釘子后瞬間圓周運動半徑為l，碰釘子后瞬間線的拉力為F2，由圓周運動、牛頓第二定律得： ， 得F1=3mg，F2=5mg （2）設在D點繩剛好承受最大拉力，記DE=x1，則：AD= 懸線碰到釘子后，繞釘做圓周運動的半徑為：r1=l﹣AD=l﹣ 當小球落到D點正下方時，繩受到的最大拉力為F，此時小球的速度v1，由牛頓第二定律有： F﹣mg=m結合F≤9mg 由機械能守恒定律得：mg （+r1）=mv12 由上式聯立解得：x1≤ 隨著x的減小，即釘子左移，繞釘子做圓周運動的半徑越來越大．轉至最高點的臨界速度也越來越大，但根據機械能守恒定律，半徑r越大，轉至最高點的瞬時速度越小，當這個瞬時速度小于臨界速度時，小球就不能到達圓的最高點了． 設釘子在G點小球剛能繞釘做圓周運動到達圓的最高點，設EG=x2， 則：AG=，r2=l﹣AG=l﹣ 在最高點：mg≤ 由機械能守恒定律得：mg （﹣r2）=mv12 聯立得：x2≥ 釘子位置在水平線EF上距E點距離的取值范圍是：≤x≤ 答：（1）若釘鐵釘位置在E點，細線與釘子碰撞前后瞬間，細線的拉力分別是3mg和5mg； （2）若小球能繞釘子在豎直面內做完整的圓周運動，則釘子位置在水平線EF上距E點距離的取值范圍為≤x≤．
點評：	本題考查的知識點比較多，涉及到圓周運動、機械能守恒定律和動能定理，要求同學們解題時能熟練運用動能定理并結合幾何知識解題，難度較大．