Question

3．如圖所示，一質(zhì)量為M=5.0kg的平板車靜止在光滑水平地面上，其右側(cè)足夠遠(yuǎn)處有一固定障礙物A，障礙物A與平板車的上表面等高．不計(jì)A的厚度．另一質(zhì)量為m=1.0kg可視為質(zhì)點(diǎn)的滑塊，以v₀=8m/s的水平初速度從左端滑上平板車，同時(shí)對(duì)平板車施加一水平向右、大小為10N的恒力F．當(dāng)滑塊運(yùn)動(dòng)到平板車的最右端時(shí)，兩者恰好相對(duì)靜止．此時(shí)撤去恒力F．當(dāng)平板車碰到障礙物A時(shí)立即停止運(yùn)動(dòng)，滑塊水平飛離平板車后，恰能無碰撞地沿圓弧切線從B點(diǎn)切入光滑豎直圓弧軌道，B、D與地面等高，并沿軌道下滑．已知滑塊與平板車間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5，圓弧半徑為R=1.0m，圓弧所對(duì)的圓心角∠BOD=θ=106°，取g=10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6，求：

（1）障礙物A與圓弧左端B的水平距離．
（2）滑塊運(yùn)動(dòng)圓弧軌道最低點(diǎn)C時(shí)對(duì)軌道壓力的大�。�
（3）滑塊與平板車因摩擦產(chǎn)生的熱量．

Answer 1

分析 （1）滑塊在小車上運(yùn)動(dòng)時(shí)，對(duì)滑塊和小車分別受力分析，由牛頓第二定律可以求得兩者的加速度大小，根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的速度時(shí)間公式求出從開始到兩者共速的時(shí)間，并求出共同速度，即為滑塊飛離平板車做平拋運(yùn)動(dòng)的初速度．根據(jù)滑塊到達(dá)B點(diǎn)時(shí)速度的方向，求到達(dá)B點(diǎn)的豎直分速度，求出平拋的時(shí)間，從而可求得障礙物A與圓弧左端B的水平距離．
（2）滑塊從B到C的過程中，機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒定律求出C點(diǎn)的速度，再根據(jù)向心力的公式可以求得在C點(diǎn)時(shí)滑塊受到的支持力的大小，再由牛頓第三定律可得滑塊對(duì)軌道的壓力．
（3）由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出滑塊與平板車的相對(duì)位移，從而求得摩擦生熱．

解答 解：（1）滑塊做平板車上滑行時(shí)，由牛頓第二定律得：
對(duì)滑塊有：a₁=$\frac{μmg}{m}$=μg=5m/s²．
對(duì)平板車有：a₂=$\frac{F+μmg}{M}$=3m/s²．
設(shè)經(jīng)過時(shí)間t₁，滑塊與平板車相對(duì)靜止，共同速度為υ，則有：
υ=υ₀-a₁t₁=a₂t₁
解得：t₁=1s，υ=3m/s
滑塊到達(dá)B點(diǎn)時(shí)速度沿圓弧的切線方向，即與水平方向的夾角為53°
則經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)豎直分速度為：v_y=vtan53°=4m/s
又由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律有：v_y=gt
得：t=0.4s
所以障礙物A與圓弧左端B的水平距離為：x=vt=1.2m
（2）在B點(diǎn)的速度的大小為：υ_B=$\sqrt{{v}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=5m/s
由B到C過程中，由機(jī)械能守恒定律得：
   $\frac{1}{2}$$m{v}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$=mgR（1-cos53°）
在C點(diǎn)處，由牛頓第二定律得：N-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
由以上式子解得：N=43N，
由牛頓第三定律得滑塊對(duì)軌道的壓力為：N′=N=43N．
（3）滑塊做平板車上滑行的過程中，滑塊的位移為：x₁=$\frac{{v}^{2}-{v}_{0}^{2}}{-2{a}_{1}}$=$\frac{{3}^{2}-{8}^{2}}{-2×5}$m=5.5m
平板車的位移為：x₂=$\frac{{v}^{2}}{2{a}_{2}}$=$\frac{{3}^{2}}{2×3}$m=1.5m
兩者的相對(duì)位移大小為：△x=x₁-x₂=4m
所以滑塊與平板車因摩擦產(chǎn)生的熱量為：Q=μmg△x=20J．
答：（1）障礙物A與圓弧左端B的水平距離是1.2m．
（2）滑塊運(yùn)動(dòng)圓弧軌道最低點(diǎn)C時(shí)對(duì)軌道壓力的大小是43N．
（3）滑塊與平板車因摩擦產(chǎn)生的熱量是20J．

點(diǎn)評(píng) 本題的關(guān)鍵要分析清楚滑塊的運(yùn)動(dòng)過程和狀態(tài)，根據(jù)物體的運(yùn)動(dòng)過程來逐段研究．要把握隱含的條件，如滑塊到達(dá)B點(diǎn)時(shí)速度的方向，要注意摩擦生熱與相對(duì)位移有關(guān)．