Question

3．從地球的南極和北極同時(shí)發(fā)射一枚火箭，兩火箭初速度大小相同，方向均沿極地的水平方向，經(jīng)過(guò)時(shí)間t（約3.5h）兩火箭相距最遠(yuǎn)為L(zhǎng)，已知兩火箭都沿著橢圓軌道飛行，地球半徑為R，地表重力加速度為g，空氣阻力忽略不計(jì)，下列說(shuō)法正確的是（　�。�

• A． 地心是橢圓軌道的一個(gè)焦點(diǎn)
• B． 兩火箭一定會(huì)在赤道的上空相遇
• C． 兩火箭最遠(yuǎn)相距L=4（$\frac{g{t}^{2}{R}^{2}}{{π}^{2}}$）${\;}^{\frac{1}{2}}$-2R
• D． 火箭距地面的最大高度h=2（$\frac{g{t}^{2}{R}^{2}}{{π}^{2}}$）${\;}^{\frac{1}{3}}$-R

Answer 1

分析 從地球南極和北極同時(shí)發(fā)射的兩枚火箭均沿橢圓軌道運(yùn)行，根據(jù)開(kāi)普勒定律知道地球位于橢圓軌道的一個(gè)焦點(diǎn)上．火箭沿近地圓軌道運(yùn)行時(shí)，由地球的萬(wàn)有引力提供向心力，據(jù)此列式可得到火箭運(yùn)行的周期．物體在地球表面上，重力近似等于地球的萬(wàn)有引力，列式可得到重力加速度與地球半徑的關(guān)系．火箭沿橢圓軌道運(yùn)行時(shí)，由開(kāi)普勒第三定律列式，得到周期與半長(zhǎng)軸a的關(guān)系，將幾個(gè)式子聯(lián)立求出a，兩火箭相距最遠(yuǎn)l=4a-2R

解答 解：A、從地球南極和北極同時(shí)發(fā)射的兩枚火箭均沿橢圓軌道運(yùn)行，地球位于橢圓軌道的一個(gè)焦點(diǎn)上，則A正確
B、運(yùn)動(dòng)軌跡圖如圖，且二者周期相同，則會(huì)在赤道上空相遇．則B正確
C、在橢圓軌道上運(yùn)行的兩枚火箭，當(dāng)?shù)竭_(dá)最遠(yuǎn)點(diǎn)時(shí)，此時(shí)兩火箭相距最遠(yuǎn)．設(shè)橢圓軌道的半長(zhǎng)軸為a，則兩火箭相距最遠(yuǎn)l=4a-2R．
設(shè)火箭沿近地圓軌道運(yùn)行的周期為T(mén)₀，火箭由地球的萬(wàn)有引力提供向心力，則得：
G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$R\frac{4{π}^{2}}{{T}_{0}^{2}}$ ①
在地面上有：GM=gR² ②
由①②得：${T}_{0}=\sqrt{\frac{4{π}^{2}R}{g}}$③
設(shè)火箭沿橢圓軌道運(yùn)行的周期為T(mén)，根據(jù)開(kāi)普勒第三定律：$\frac{{a}^{3}}{{R}^{3}}=\frac{{T}^{2}}{{T}_{0}^{2}}$④
兩火箭最遠(yuǎn)時(shí)，經(jīng)歷了$\frac{T}{2}$=t，即 T=2t⑤
由③④⑤得：$a=\root{3}{\frac{{t}^{2}{R}^{2}g}{{π}^{2}}}$，則L=4a-2R=$4\root{3}{\frac{{t}^{2}{R}^{2}g}{{π}^{2}}}-2R$，則C錯(cuò)誤
D、火箭距地面的最大高度h為2l-R=2（$\frac{g{t}^{2}{R}^{2}}{{π}^{2}}$）${\;}^{\frac{1}{3}}$-R則D正確
故選：ABD

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵要理清思路，對(duì)于圓周運(yùn)動(dòng)，由萬(wàn)有引力等于向心力列式，對(duì)橢圓運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用開(kāi)普勒第三定律研究，同時(shí)要正確畫(huà)出火箭的運(yùn)動(dòng)軌跡，由幾何知識(shí)求解．