Question

9．如圖所示，質(zhì)量為m的小球用長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)線拴在天花板上的O點(diǎn)，現(xiàn)將小球拉開(kāi)，使擺線L與豎直方向的夾角為α，并使小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)（這種運(yùn)動(dòng)通常稱為圓錐擺運(yùn)動(dòng)）．求：
（1）細(xì)線的對(duì)小球的拉力大小；
（2）小球運(yùn)動(dòng)的線速度的大�。�
（3）小球做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度及周期．

Answer 1

分析 小球受重力和拉力，靠?jī)蓚�(gè)力的合力提供向心力，根據(jù)平行四邊形定則求出拉力的大小，結(jié)合牛頓第二定律求出線速度的大小，根據(jù)線速度與角速度、周期的關(guān)系求出角速度和周期的大小．

解答 解：（1）小球的受力如圖所示，小球受重力mg和繩子的拉力F，因?yàn)樾∏蛟谒�平面�?nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，靠合力提供向心力，根據(jù)平行四邊形定則知，拉力為：
F=$\frac{mg}{cosα}$．
（2）根據(jù)牛頓第二定律得：
$mgtanα=m\frac{{v}^{2}}{Lsinα}$，
解得：v=$\sqrt{gLtanαsinα}$．
（3）小球做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度為：$ω=\frac{v}{r}=\frac{\sqrt{gLtanαsinα}}{Lsinα}=\sqrt{\frac{g}{Lcosα}}$．
小球運(yùn)動(dòng)的周期為：T=$\frac{2π}{ω}=2π\(zhòng)sqrt{\frac{Lcosα}{g}}$．
答：（1）細(xì)線的對(duì)小球的拉力大小為$\frac{mg}{cosα}$；
（2）小球運(yùn)動(dòng)的線速度的大小為$\sqrt{gLtanαsinα}$；
（3）小球做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度為$\sqrt{\frac{g}{Lcosα}}$，周期為$2π\(zhòng)sqrt{\frac{Lcosα}{g}}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道小球做圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來(lái)源，結(jié)合牛頓第二定律進(jìn)行求解，難度不大．