Question

16．如圖所示，傳送帶傾斜放置，與水平方向夾角為37°，傳送帶長4.45m，以3m/s的速度逆時(shí)針勻速運(yùn)動(dòng)．將一物塊從傳送帶的頂端由靜止釋放，物塊可視為質(zhì)點(diǎn)，與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.5，且物塊相對(duì)傳送帶運(yùn)動(dòng)過程中會(huì)在傳送帶上留下痕跡，取g=10m/s²，sin37°=0.6，求：
（1）物塊在傳送帶上由頂端到底端經(jīng)歷的時(shí)間；
（2）物塊在傳送帶上留下的劃痕長度．

Answer 1

分析 （1）傳送帶沿逆時(shí)針方向勻速運(yùn)動(dòng)，物塊無初速地從上端放到傳送帶上后受到沿斜面向下的滑動(dòng)摩擦力，做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，最終速度和傳送帶速度相等，根據(jù)牛頓第二定律求得加速度，再由速度公式求物塊加速到與傳送帶速度相等所用時(shí)間．進(jìn)而可以求得物塊勻加速運(yùn)動(dòng)的位移．根據(jù)共速瞬間物塊重力沿斜面向下的分力與最大靜摩擦力的關(guān)系，判斷之后物塊的運(yùn)動(dòng)情況，再由牛頓第二定律和位移公式結(jié)合求物塊繼續(xù)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，從而求得總時(shí)間．
（2）根據(jù)時(shí)間和傳送帶的速度求出傳送帶的位移，得到物塊與傳送帶的相對(duì)位移，即為物塊在傳送帶上留下的劃痕長度．

解答 解：（1）物塊剛放到皮帶上時(shí)受重力、支持力和沿斜面向下的滑動(dòng)摩擦力，由牛頓第二定律有：
   mgsinθ+μmgcosθ=ma₁
代入數(shù)據(jù)解得：a₁=10 m/s²
設(shè)經(jīng)歷時(shí)間t₁物塊與傳送帶共速，則 t₁=$\frac{v}{{a}_{1}}$=$\frac{3}{10}$s=0.3s
此過程中物塊的位移為：x₁=$\frac{{v}^{2}}{2{a}_{1}}$=$\frac{{3}^{2}}{2×10}$=0.45m
物塊與傳送帶共速后，由于mgsinθ＞μmgcosθ，所以物塊繼續(xù)做勻加速運(yùn)動(dòng)．
由牛頓第二定律有：mgsinθ-μmgcosθ=ma₂，
代入數(shù)據(jù)解得：a₂=2m/s²
設(shè)繼續(xù)勻加速運(yùn)動(dòng)經(jīng)歷的時(shí)間為t₂，則
   L-x₁=v₀t₂+$\frac{1}{2}$a₂t₂²
解得：t₂=1s
所以物塊在傳送帶上由頂端到底端經(jīng)歷的時(shí)間 t=t₁+t₂=0.3s+1s=1.3s
（2）從開始到物塊與傳送帶速度相等的這段時(shí)間內(nèi)，物塊相對(duì)傳送帶向上運(yùn)動(dòng)，相對(duì)運(yùn)動(dòng)的位移大小為：
△x₁=vt₁-x₁=3×0.3-0.45=0.45 m，方向沿斜面向上
從與傳送帶速度相等到運(yùn)動(dòng)到底端的這段時(shí)間內(nèi)，物塊相對(duì)傳送帶向下運(yùn)動(dòng)，相對(duì)運(yùn)動(dòng)的位移大小為
△x₂=L-x₁-vt₂=4.45-0.45-3×1=1m，方向沿傳送帶向下
考慮到劃痕的重疊，故物塊在傳送帶上留下的劃痕長度 s=△x₂=1m
答：
（1）物塊在傳送帶上由頂端到底端經(jīng)歷的時(shí)間是1.3s；
（2）物塊在傳送帶上留下的劃痕長度是1m．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵是會(huì)根據(jù)受力判斷物體的運(yùn)動(dòng)情況，特別是分析共速后物體的運(yùn)動(dòng)情況，不能簡單地認(rèn)為共速后兩者一起勻速運(yùn)動(dòng)．要注意相對(duì)位移的方向．