Question

20．在豎直平面內(nèi)，以虛線為界分布著如圖所示的勻強(qiáng)電場和勻強(qiáng)磁場，其中勻強(qiáng)電場方向豎直向上，大小為E；勻強(qiáng)磁場垂直紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B．虛線與水平線之間的夾角為θ=45°，一帶電粒子從O點(diǎn)以速度v₀水平射入勻強(qiáng)磁場，已知帶負(fù)電粒子電荷量為q，質(zhì)量為m，（重力忽略不計(jì)，電場、磁場區(qū)域足夠大）．
（1）求帶電粒子第1次通過虛線時(shí)，粒子距O點(diǎn)的距離？
（2）求帶電粒子從開始運(yùn)動(dòng)到第4次通過虛線時(shí)經(jīng)歷的總時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，根據(jù)洛倫茲力提供向心力求出運(yùn)動(dòng)半徑，根據(jù)幾何關(guān)系即可求解；
（2）粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)，求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間，第一次進(jìn)入電場時(shí)做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間，帶電粒子將從B點(diǎn)反向加速重新進(jìn)入磁場，再次求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，帶電粒子從C點(diǎn)再次進(jìn)入電場中做類平拋運(yùn)動(dòng)，求出第四次進(jìn)入磁場的時(shí)間．

解答 解：（1）粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得：
qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$，
解得：r=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$，
因?yàn)棣?45°，根據(jù)幾何關(guān)系，帶電粒子從O運(yùn)動(dòng)到A為$\frac{3}{4}$圓周，解得：x_OA=$\sqrt{2}$r=$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{qB}$；
（2）粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$，
帶電粒子從O運(yùn)動(dòng)到A為$\frac{3}{4}$圓周，則帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₁=$\frac{3}{4}$T=$\frac{3πm}{2qB}$，
粒子從A點(diǎn)進(jìn)入電場，受到電場力F=qE，則在電場中加速度大小為：a=$\frac{qE}{m}$，
從A到B的時(shí)間為：t_AB=$\frac{{v}_{0}}{a}$=$\frac{m{v}_{0}}{qE}$，
帶電粒子將從B點(diǎn)反向加速重新進(jìn)入磁場，由幾何關(guān)系可知，
帶電粒子從A到C為$\frac{1}{4}$圓周，則：
再一次在磁場中運(yùn)動(dòng)t₂=$\frac{1}{4}$T=$\frac{πm}{2qB}$，
帶電粒子從C點(diǎn)再次進(jìn)入電場中做類平拋運(yùn)動(dòng)：
X=v₀t_CD，Y=$\frac{1}{2}$at_CD²，Y=Xtanθ，
解得：t_CD=$\frac{2m{v}_{0}}{qE}$，
第四次到達(dá)電場與磁場分界虛線的總時(shí)間為
t=t₁+2t_AB+t₂+t_CD=$\frac{2πm}{qB}$+$\frac{4m{v}_{0}}{qE}$；
答：（1）帶電粒子第1次通過虛線時(shí)，粒子距O點(diǎn)的距離為$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{qB}$；
（2）帶電粒子從開始運(yùn)動(dòng)到第4次通過虛線時(shí)經(jīng)歷的總時(shí)間為$\frac{2πm}{qB}$+$\frac{4m{v}_{0}}{qE}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是帶電粒子在組合場中運(yùn)動(dòng)的問題，粒子在電場中偏轉(zhuǎn)做類平拋運(yùn)動(dòng)，在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，要求同學(xué)們能畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系求解，難度較大．