Question

10．如圖所示，宇航員站在某質(zhì)量分布均勻的星球表面一斜坡上P點沿水平方向以初速度v₀拋出一個小球，測得小球經(jīng)時間t落到斜坡上另一點Q，斜面的傾角為θ，已知該星球半徑為R，引力常量為G，自轉(zhuǎn)周期為T，求：
（1）該星球表面的重力加速度g和質(zhì)量M；
（2）該星球的第一宇宙速度v；
（3）該星球的同步衛(wèi)星距離地面的高度h．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平拋運動水平位移和豎直位移的關(guān)系，結(jié)合運動學公式求出星球表面的重力加速度，根據(jù)萬有引力等于重力得出星球的質(zhì)量．
（2）根據(jù)重力提供向心力求出該星球的第一宇宙速度．
（3）根據(jù)萬有引力提供向心力和萬有引力等于重力求出同步衛(wèi)星距離地面的高度．

解答 解：（1）根據(jù)$tanθ=\frac{\frac{1}{2}g{t}^{2}}{{v}_{0}t}$解得星球表面的重力加速度為：
g=$\frac{2{v}_{0}tanθ}{t}$．
星球表面，有：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$，
解得：M=$\frac{g{R}^{2}}{G}=\frac{2{v}_{0}{R}^{2}tanθ}{Gt}$．
（2）根據(jù)重力提供向心力，有：
$mg=m\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得第一宇宙速度為：v=$\sqrt{gR}=\sqrt{\frac{2{v}_{0}Rtanθ}{t}}$．
（3）由公式$\frac{GMm}{（R+h）^{2}}=m（R+h）\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$，
聯(lián)立以上結(jié)果得：h=$\root{3}{\frac{{T}^{2}{v}_{0}{R}^{2}tanθ}{2{π}^{2}t}}-R$．
答：（1）該星球表面的重力加速度g為$\frac{2{v}_{0}tanθ}{t}$，質(zhì)量M為$\frac{2{v}_{0}{R}^{2}tanθ}{Gt}$；
（2）該星球的第一宇宙速度v為$\sqrt{\frac{2{v}_{0}Rtanθ}{t}}$；
（3）該星球的同步衛(wèi)星距離地面的高度h為$\root{3}{\frac{{T}^{2}{v}_{0}{R}^{2}tanθ}{2{π}^{2}t}}-R$．

點評 本題考查了萬有引力定律和平拋運動的綜合運用，知道平拋運動在水平方向和豎直方向上的運動規(guī)律，以及掌握萬有引力定律的兩個重要理論：1、萬有引力等于重力，2、萬有引力提供向心力．