Question

9．真空中存在電場強度大小為E₁的勻強電場，一帶電油滴在該電場中豎直向上做勻速直線運動，速度大小為v₀，在油滴處于位置A時，將電場強度的大小突然增大到某值，但保持其方向不變．持續(xù)一段時間t₁后，又突然將電場反向，但保持其大小不變；再持續(xù)同樣一段時間后，油滴運動到B點．重力加速度大小為g．
（1）油滴運動到B點時的速度；
（2）求增大后的電場強度的大�。粸楸ＷC后來的電場強度比原來的大，試給出相應(yīng)的t₁和v₀應(yīng)滿足的條件．已知不存在電場時，油滴以初速度v₀做豎直上拋運動的最大高度恰好等于B、A兩點間距離的兩倍．

Answer 1

分析 （1）分析油滴的運動過程，可知其先進行向上的勻速直線運動，到達A處后因電場強度突然增大而開始做向上的勻加速直線運動，經(jīng)過t₁后電場突然反向，油滴開始做勻減速直線運動，并可能在速度減為零后做反向的勻加速直線運動．對電場增大后的兩個過程分別列出牛頓第二定律方程，即可求得兩個過程中的加速度，而t₁又是一個已知量，那么直接使用運動學(xué)公式即可求出v_B的速度大小；
（2）因為油滴最后可能做反向的勻加速直線運動，因此我們不能確定B點的位置究竟在A點上方還是A點下方，故需要分為兩種情況討論．對其中每一種情況，根據(jù)運動學(xué)公式列出方程，并與豎直上拋的方程進行聯(lián)立，即可分別求得兩種情況下的場強E₂的大��；而根據(jù)題意，為求出t₁與v₀滿足的條件，只需要使E₂＞E₁即可，那么就可以最終求得t₁與v₀間的關(guān)系式．

解答 解：（1）設(shè)油滴質(zhì)量為m，帶電荷量為q，增大后的電場強度為E₂，根據(jù)題中條件可以判斷電場力與重力方向相反；
對于勻速運動階段，有qE₁=mg…①
對于場強突然增大后的第一段t₁時間，由牛頓第二定律得：qE₂-mg=ma₁…②
對于場強第二段t₁時間，由牛頓第二定律得：qE₂+mg=ma₂ …③
由運動學(xué)公式，可得油滴在電場反向時的速度為：v₁=v₀+a₁t₁④
油滴在B的速度為：v_B=v₁-a₂t₁⑤
聯(lián)立①至⑤式，可得：v_B=v₀-2gt₁；方向向上；
（2）設(shè)無電場時豎直上拋的最大高度為h，由運動學(xué)公式，有：v₀²=2gh…⑥
根據(jù)位移時間關(guān)系可得：v₀t₁+$\frac{1}{2}{a}_{1}{t}_{1}^{2}={x}_{1}$…⑦
v₁t₁-$\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{1}^{2}={x}_{2}$…⑧
油滴運動有兩種情況：
情況一：
位移之和x₁+x₂=$\frac{h}{2}$ ⑨
聯(lián)立①、②、③、⑥、⑦、⑧、⑨可得：
E₂=E₁+$\frac{{E}_{1}}{g}（g+\frac{{v}_{0}^{2}}{4g{t}_{1}^{2}}-\frac{2{v}_{0}}{{t}_{1}}）$
由題意得E₂＞E₁，即滿足條件$\frac{2{v}_{0}}{{t}_{1}}-\frac{{v}_{0}^{2}}{4g{t}_{1}^{2}}＜g$，即當(dāng)$0＜{t}_{1}＜（1-\frac{\sqrt{3}}{2}）\frac{{v}_{0}}{g}$或${t}_{1}＞（1+\frac{\sqrt{3}}{2}）\frac{{v}_{0}}{g}$才是可能的；
情況二：
位移之和x₁+x₂=-$\frac{h}{2}$  ⑩
聯(lián)立①、②、③、⑥、⑦、⑧、⑩可得：
E₂=E₁+$\frac{{E}_{1}}{g}（g-\frac{{v}_{0}^{2}}{4g{t}_{1}^{2}}-\frac{2{v}_{0}}{{t}_{1}}）$
由題意得E₂＞E₁，即滿足條件$\frac{2{v}_{0}}{{t}_{1}}+\frac{{v}_{0}^{2}}{4g{t}_{1}^{2}}＜g$，即${t}_{1}＞（1+\frac{\sqrt{5}}{2}）\frac{{v}_{0}}{g}$，另一解為負，不合題意，舍去．
答：
（1）油滴運動到B點時的速度為v₀-2gt₁；
（2）增大后的電場強度的大小為E₁+$\frac{{E}_{1}}{g}（g+\frac{{v}_{0}^{2}}{4g{t}_{1}^{2}}-\frac{2{v}_{0}}{{t}_{1}}）$，t₁和v₀應(yīng)滿足的條件為$0＜{t}_{1}＜（1-\frac{\sqrt{3}}{2}）\frac{{v}_{0}}{g}$或${t}_{1}＞（1+\frac{\sqrt{3}}{2}）\frac{{v}_{0}}{g}$；
或E₁+$\frac{{E}_{1}}{g}（g-\frac{{v}_{0}^{2}}{4g{t}_{1}^{2}}-\frac{2{v}_{0}}{{t}_{1}}）$；相應(yīng)的t₁和v₀應(yīng)滿足的條件為${t}_{1}＞（1+\frac{\sqrt{5}}{2}）\frac{{v}_{0}}{g}$．

點評 有關(guān)帶電粒子在勻強電場中的運動，可以從兩條線索展開：其一，力和運動的關(guān)系．根據(jù)帶電粒子受力情況，用牛頓第二定律求出加速度，結(jié)合運動學(xué)公式確定帶電粒子的速度和位移等；其二，功和能的關(guān)系．根據(jù)電場力對帶電粒子做功，引起帶電粒子的能量發(fā)生變化，利用動能定理進行解答．