Question

18．如圖所示是一把濕雨傘的側(cè)面（圖1）和俯視投影圖（圖2），當(dāng)雨傘繞著中心軸線旋轉(zhuǎn)，并達(dá)到一定的角速度時(shí)，傘邊緣的雨滴就會(huì)沿邊緣切線方向甩出去，設(shè)質(zhì)量為m的雨滴的徑向附著力最大為Fo，雨傘投影半徑為r，o點(diǎn)離地面高h(yuǎn)，不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g 
（1）求雨滴能被甩出去，雨傘的角速度至少為多大？
（2）A、B兩個(gè)都為m的雨滴所夾圓心角為θ（弧度制θ＜π），當(dāng)同時(shí)恰好被甩出后，落到地面上的印跡相距的距離多大？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)附著力充當(dāng)向心力來(lái)求角速度的大小．
（2）根據(jù)高度求出平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，結(jié)合初速度和時(shí)間求出水平距離，通過(guò)幾何關(guān)系求出傘面邊緣上甩出去的水滴落在水平地面上形成的圓的半徑

解答 解：（1）當(dāng)徑向附著力剛好提供向心力時(shí)，是雨滴甩出的臨界條件：
${F}_{0}=m{ω}_{0}^{2}r$
可得：ω₀=$\sqrt{\frac{{F}_{0}}{mr}}$
（2）A、B甩出的線速度大小都為V、下落時(shí)間為t、甩出點(diǎn)到落點(diǎn)的水平距離都為S
落點(diǎn)到傘柄中心軸的距離為R、兩落點(diǎn)的間距為x  則：
V=ωr-------------①
甩出后作平拋運(yùn)動(dòng)：
$h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$------------②
S=Vt-----------------③
根據(jù)幾何關(guān)系：
R²=r²+S²--------------④
x=$2Rsin\frac{θ}{2}$----------------------⑤
聯(lián)立①②③④⑤得x=$\sqrt{{r}^{2}+\frac{2{F}_{0}hr}{mg}}$
答：
（1）雨滴能被甩出去，雨傘的角速度至少$\sqrt{\frac{{F}_{0}}{mr}}$．
（2）當(dāng)同時(shí)甩出后，落到地面上的印跡相距的距離$\sqrt{{r}^{2}+\frac{2{F}_{0}hr}{mg}}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向和豎直方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，本題容易錯(cuò)認(rèn)為平拋運(yùn)動(dòng)的水平距離即為地面上形成的圓的半徑，需通過(guò)幾何關(guān)系求解