Question

如圖所示，ABCDO是處于豎直平面內(nèi)的光滑軌道，AB是半徑為R=15m的

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圓周軌道，CDO是直徑為15m的半圓軌道．AB軌道和CDO軌道通過極短的水平軌道（長度忽略不計(jì)）平滑連接．半徑OA處于水平位置，直徑OC處于豎直位置．一個(gè)小球P從A點(diǎn)的正上方高H處自由落下，從A點(diǎn)進(jìn)入豎直平面內(nèi)的軌道運(yùn)動(dòng)（小球經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)無機(jī)械能損失）．當(dāng)小球通過CDO軌道最低點(diǎn)C時(shí)對(duì)軌道的壓力等于其重力的

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倍，取g為10m/s²．
（1）試求高度H的大��；
（2）試討論此球能否到達(dá)CDO軌道的最高點(diǎn)O，并說明理由；
（3）求小球沿軌道運(yùn)動(dòng)后再次落回軌道上時(shí)的速度大�。�

Answer 1

分析：（1）由于重力和支持力的合力提供向心力，根據(jù)向心力公式得到C點(diǎn)速度；
（2）先根據(jù)機(jī)械能守恒定律求得O點(diǎn)速度，再求出恰好經(jīng)過O點(diǎn)的速度，然后比較得出結(jié)論；
（3）離開O點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)水平和豎直分位移公式和幾何關(guān)系得到時(shí)間，再求出水平和豎直方向的分速度，最后得到合速度．

解答：解：（1）在C點(diǎn)對(duì)軌道的壓力等于重力的

23

3

，由牛頓第三定律得，在C點(diǎn)軌道對(duì)小球的支持力大小為

23

3

mg．
設(shè)小球過C點(diǎn)速度v₁ 

23

3

mg-mg=m

v 2 1

1 2 R

P到C過程，由機(jī)械能守恒：mg（H+R）=

1

2

m

v

2 1

　　　　　　解得：H=10m
即高度H的大小為10m．
（2）設(shè)小球能到達(dá)O點(diǎn)，由P到O，機(jī)械能守恒，到O點(diǎn)的速度v₂：
mgH=

1

2

m

v

2 2

      解得 v2=

2gH

=

20g

設(shè)小球恰好能到達(dá)軌道的O點(diǎn)時(shí)的速度大小為v₀，則
mg=m

v 2 0

1 2 R

    解得 v0=

1 2 gR

=

15g 2

 
由于v₂＞v₀
故小球能夠到達(dá)O點(diǎn)．
（3）小球在O點(diǎn)的速度v2=

2gH

=

4 3 gH

=10

2

m/s
　　離開O點(diǎn)小球做平拋運(yùn)動(dòng)：
水平方向：x=v₂t 豎直方向：y=

1

2

gt2 且有：x²+y²=R² 解得：t=1s
再次落到軌道上的速度v3=

v 2 2 + (gt) 2

=10

3

m/s
即小球沿軌道運(yùn)動(dòng)后再次落回軌道上時(shí)的速度大小為10

3

m/s．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵是要分析清楚物體各段的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，同時(shí)多次結(jié)合機(jī)械能守恒定律和向心力公式列式求解．