Question

如圖所示，ABCDO是處于豎直平面內(nèi)的光滑軌道，AB是半徑為R=15m的

1

4

圓周軌道，CDO是直徑為15m的半圓軌道．AB和CDO通過(guò)極短的水平軌道（長(zhǎng)度忽略不計(jì)）平滑連接．半徑OA處于水平位置，直徑OC處于豎直位置．一個(gè)小球P從A點(diǎn)的正上方高H處自由落下，從A點(diǎn)進(jìn)入豎直平面內(nèi)的軌道運(yùn)動(dòng)（小球經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)無(wú)機(jī)械能損失）．當(dāng)小球通過(guò)CDO軌道最低點(diǎn)C時(shí)對(duì)軌道的壓力等于其重力的

23

3

倍，（取g為10m/s²）．
（1）試求高度H的大��？
（2）試討論此球能否到達(dá)CDO軌道的最高點(diǎn)O，并說(shuō)明理由？
（3）求小球沿軌道運(yùn)動(dòng)后經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間再次落回軌道上？

Answer 1

分析：（1）設(shè)小球通過(guò)D點(diǎn)的速度為v，根據(jù)向心力公式列出方程，小球從P點(diǎn)落下直到沿光滑軌道運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，機(jī)械能守恒，可解得H的高度；
（2）先求出0點(diǎn)的最小速度，然后根據(jù)機(jī)械能守恒定律得到要到達(dá)0點(diǎn)需要從多高的地方下落，把這個(gè)高度和H進(jìn)行比較即可解題；
（3）先求出小球由H落下通過(guò)O點(diǎn)的速度，小球通過(guò)O點(diǎn)后作平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)小球經(jīng)時(shí)間t落到AB圓弧軌道上，根據(jù)幾何關(guān)系即可求解．

解答：解：（1）設(shè)小球通過(guò)D點(diǎn)的速度為v，則有：
m

v2

R 2

=F=

14

3

mg
小球從P點(diǎn)落下直到沿光滑軌道運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，機(jī)械能守恒，有mg（H+

R

2

）=

1

2

mv2
可得高度H=

2

3

R=10m
（2）設(shè)小球能夠沿豎直半圓軌道運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)的最小速度為v_c，有m

vC2

R 2

=mg
小球至少應(yīng)從H_c高處落下，mgHC=

1

2

mvC2
解得HC=

R

4

   由H＞H_C，小球可以通過(guò)O點(diǎn)．
（3）小球由H落下通過(guò)O點(diǎn)的速度為v0=

2gH

=14.1m/s
小球通過(guò)O點(diǎn)后作平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)小球經(jīng)時(shí)間t落到AB圓弧軌道上，有
x=v₀t
y=

1

2

gt2      
且x²+y²=R²
可解得時(shí)間t=1s  （另解舍棄）  
答：（1）高度H的大小為10m；
（2）能到達(dá)CDO軌道的最高點(diǎn)O；
（3）小球沿軌道運(yùn)動(dòng)后經(jīng)1s再次落回軌道上．

點(diǎn)評(píng)：整個(gè)過(guò)程中物體的機(jī)械能守恒，離開(kāi)O點(diǎn)小球做平拋運(yùn)動(dòng)，直到落到軌道上，知道物體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，根據(jù)物體的不同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，采用相應(yīng)的物理規(guī)律求解即可．