Question

如圖所示，ABCDO是處于豎直平面內的光滑軌道，AB是半徑為R=15m的

1

4

圓周軌道，半徑OA處于水平位置，CDO是直徑為15m的半圓軌道，兩個軌道如圖連接固定．一個小球P從A點的正上方距水平半徑OA高H處自由落下，沿豎直平面內的軌道運動．通過CDO軌道的最低點C時對軌道的壓力力等于其重力的

23

3

倍．取g為10m/s²．
（1）H的大��；
（2）小球沿軌道運動后再次落到軌道上的速度的大小是多少．

Answer 1

分析：（1）小球經過C點時，通過豎直方向上的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出小球在C點時的速度，根據(jù)機械能守恒定律求出高度H的大�。�
（2）根據(jù)機械能守恒定律求出小球通過O點的速度，與O點的臨界速度進行比較，判斷能否越過O點，若能越過O點，將做平拋運動，根據(jù)平拋運動水平位移和豎直位移的關系求出平拋運動的時間，從而求出豎直方向上的分速度，根據(jù)平行四邊形定則求出落回軌道上時的速度大�。�

解答：解：（1）由題意，小球經過C點時，軌道對小球的支持力為：Nc=

23

3

mg
C：由豎直方向上的合力提供向心力為：N_C-mg=m

v 2 C

R 2

所以有：v

2 C

=

( 23 3 mg-mg)× R 2

m

=

20 3 ×m×10× 15 2

m

m²/s²=500m²/s²
P→C：由機械能守恒定律得：mg（H+R）=

1

2

m

v

2 C

所以得：H=

v 2 C

2g

-R=（

500

2×10

-15）m=10m
（2）設小球能到達O點．由P到O過程中，機械能守恒，設到O點的速度為v_O，則有：
mgH=

1

2

m

v

2 O

解得：v_O=

2gH

=

20×10

m/s=10

2

m/s．
設物體恰好到達軌道O點的速度大小為v₀，
根據(jù)牛頓運動定律，有：mg=m

v 2 0

1 2 R

解得：v₀=

1 2 gR

=

5×15

m/s=5

3

m/s
因為 v_O＞v₀，所以小球能夠到達O點．
小球離開O點后做平拋運動，根據(jù)平拋運動規(guī)律有：
水平方向：x=v_Ot
豎直方向：y=

1

2

gt2
且有：x²+y²=R²
解得：t=1s
所以小球再次落到軌道上的速度 v=

v 2 O +(gt)2

=

200+(10×1)2

m/s=10

3

m/s
答：（1）高度H的大小為10m．
（2）小球沿軌道運動后再次落回軌道上時的速度大小10

3

m/s．

點評：本題綜合考查了牛頓第二定律和機械能守恒定律，考查了圓周運動和平拋運動，綜合性較強，關鍵要運用幾何關系得到平拋運動x、y的關系式，需加強這類題型的訓練．