Question

19．如圖所示，質(zhì)量為m=0.2kg可看作質(zhì)點(diǎn)的小物塊靜止放在半徑r=0.8m的水平圓盤(pán)邊緣上A處，圓盤(pán)由特殊材料制成，其與物塊的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ₁=2，傾角為θ=37°的斜面軌道與水平軌道光滑連接于C點(diǎn)，小物塊與斜面軌道和水平軌道存在摩擦，動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ₂=0.4，斜面軌道長(zhǎng)度L_BC=0.75m，C與豎直圓軌道最低點(diǎn)D處的距離為L(zhǎng)_CD=0.525m，圓軌道光滑，其半徑R=0.5m．開(kāi)始圓盤(pán)靜止，后在電動(dòng)機(jī)的帶動(dòng)下繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)，在圓盤(pán)加速轉(zhuǎn)動(dòng)到某時(shí)刻時(shí)物塊被圓盤(pán)沿紙面水平方向甩出（此時(shí)圓心O與A連線垂直紙面），后恰好切入斜面軌道B處后沿斜面方向做直線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)C處運(yùn)動(dòng)至D，在D處進(jìn)入豎直平面圓軌道，繞過(guò)圓軌道后沿水平軌 道向右運(yùn)動(dòng)．設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力．（sin37°=0.6，cos37°=0.8，g 取 10m/s²）試求：
（1）圓盤(pán)對(duì)小物塊m做的功．
（2）物塊剛運(yùn)動(dòng)到圓弧軌道最低處D時(shí)對(duì)軌道的壓力．
（3）假設(shè)豎直圓軌道可以左右移動(dòng)，要使物塊能夠通過(guò)豎直圓軌道，求豎直圓軌道底端D與斜面軌道底端C之間最遠(yuǎn)距離和小物塊的最終位置．

Answer 1

分析 （1）物塊剛被甩出時(shí)靜摩擦力達(dá)到最大，由牛頓第二定律求出此時(shí)物塊的速度．對(duì)物塊由靜止到剛被甩出的過(guò)程，由動(dòng)能定理求圓盤(pán)對(duì)小物塊m做的功．
（2）物塊被甩出后做平拋運(yùn)動(dòng)，到達(dá)B時(shí)速度沿斜面向下，由速度分解法求出物塊剛運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)的速度．對(duì)物塊從B到D的過(guò)程，運(yùn)用動(dòng)能定理求出物塊運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)的速度．在D點(diǎn)，由重力和軌道的支持力的合力提供向心力，由牛頓第二定律求得支持力，從而求得物塊對(duì)軌道的壓力．
（3）要使物塊能夠通過(guò)豎直圓軌道，到達(dá)圓軌道最高點(diǎn)時(shí)向心力應(yīng)大于等于重力，當(dāng)向心力等于重力時(shí)，豎直圓軌道底端D與斜面軌道底端C之間距離最遠(yuǎn)，由向心力公式求得最高點(diǎn)臨界速度．由動(dòng)能定理求D與C之間最遠(yuǎn)距離．對(duì)從B到最終靜止的整個(gè)過(guò)程，運(yùn)用動(dòng)能定理求出物塊在水平軌道上運(yùn)動(dòng)的總路程，從而得出小物塊的最終位置．

解答 解：（1）物塊剛被甩出時(shí)靜摩擦力達(dá)到最大，由牛頓第二定律得：
    μ₁mg=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
可得 v=$\sqrt{{μ}_{1}gr}$=$\sqrt{2×10×0.8}$=4m/s
物塊由靜止到剛被甩出的過(guò)程，由動(dòng)能定理得：
    W=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-0=$\frac{1}{2}×0.2×{4}^{2}$J=1.6J
即圓盤(pán)對(duì)小物塊m做的功為1.6J．
（2）物塊被甩出后做平拋運(yùn)動(dòng)，到達(dá)B時(shí)速度沿斜面向下，可得物塊剛到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度為：
   v_B=$\frac{v}{cos37°}$=$\frac{4}{0.8}$=5m/s
物塊從B到D的過(guò)程，運(yùn)用動(dòng)能定理得
   mgL_BCsin37°-μ₂mgcos37°•L_BC-μ₂mgL_CD=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
在D點(diǎn)，對(duì)物塊有 N-mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
聯(lián)立解得 N=12N
根據(jù)牛頓第三定律知：物塊剛運(yùn)動(dòng)到圓弧軌道最低處D時(shí)對(duì)軌道的壓力大小 N′=N=12N，方向豎直向下．
（3）物塊恰好通過(guò)豎直圓軌道最高點(diǎn)E時(shí)，豎直圓軌道底端D與斜面軌道底端C之間距離最遠(yuǎn)，在E點(diǎn)，有 mg=m$\frac{{v}_{E}^{2}}{R}$
設(shè)豎直圓軌道底端D與斜面軌道底端C之間最遠(yuǎn)距離為x．
從B到E，由動(dòng)能定理得：
   mgL_BCsin37°-μ₂mgcos37°•L_BC-μ₂mgx-2mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{E}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
聯(lián)立解得 x=0.525m
設(shè)小物塊的最終位置到D點(diǎn)的距離為S．從E到最終停止位置，由動(dòng)能定理得：
    2mgR-μ₂mgS=0-$\frac{1}{2}m{v}_{E}^{2}$
解得 S=3.125m
答：
（1）圓盤(pán)對(duì)小物塊m做的功是1.6J．
（2）物塊剛運(yùn)動(dòng)到圓弧軌道最低處D時(shí)對(duì)軌道的壓力大小為12N，方向豎直向下．
（3）豎直圓軌道底端D與斜面軌道底端C之間最遠(yuǎn)距離是0.525m，小物塊的最終位置距離D點(diǎn)3.125m．

點(diǎn)評(píng) 分析清楚物塊的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，把握隱含的臨界條件，如物塊恰好到達(dá)圓軌道最高點(diǎn)的條件：重力等于向心力，是解決本題的關(guān)鍵．