Question

14．平行金屬板MN和OP水平正對(duì)放置，板長(zhǎng)為2l，板間距為l，虛線NP右側(cè)足夠大的空間有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．現(xiàn)以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，沿OM方向建立坐標(biāo)軸oy．質(zhì)量為m、電量為+q的帶電粒子（不計(jì)重力）可以分別從oy軸上O、M間任意點(diǎn)（包含O、M兩點(diǎn)）以相同的水平速度v₀射入板間，每個(gè)粒子單獨(dú)射入，每個(gè)粒子在板間運(yùn)動(dòng)過程中板間電壓保持恒定，且認(rèn)為電場(chǎng)只分布在兩板之間的區(qū)域；射入點(diǎn)不同的粒子偏轉(zhuǎn)電壓不同，以確保從y軸上O、M間任意位置水平射入的粒子，均恰好到達(dá)P點(diǎn)并離開電場(chǎng)進(jìn)入磁場(chǎng)．求：
（1）粒子射入點(diǎn)坐標(biāo)y與對(duì)應(yīng)偏轉(zhuǎn)電壓U的關(guān)系式
（2）若要使從OM間任意位置射人電場(chǎng)的粒子經(jīng)磁場(chǎng)后均能不與平行金屬板碰撞而直接到達(dá)y軸，求磁感應(yīng)強(qiáng)度的最大值
（3）在滿足（2）的磁感應(yīng)強(qiáng)度的最大值條件下求這些粒子從y軸上出發(fā)到再次到達(dá)y軸的最短時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的合成和分解結(jié)合牛頓第二定律以及運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，即可；
（2）找出臨界情況，畫出粒子軌跡過程圖，根據(jù)類平拋過程求出進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度大小和方向，粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)洛倫茲力提供向心力與臨界幾何關(guān)系聯(lián)立即可；
（3）根據(jù)水平方向速度不變可知，所有粒子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間和離開磁場(chǎng)到再次到達(dá)y軸的時(shí)間均相等，只要磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最短即可，所以粒子水平向右入射磁場(chǎng)，轉(zhuǎn)半個(gè)圓周所用時(shí)間最短，將三段時(shí)間加和即可．

解答 解：（1）設(shè)粒子射入點(diǎn)坐標(biāo)為y時(shí)對(duì)應(yīng)的電壓為U，場(chǎng)強(qiáng)為E，在電場(chǎng)中的時(shí)間為t，加速度為a，則在電場(chǎng)中有：
2l=v₀t ①
y=$\frac{1}{2}$at² ②
Eq=ma  ③
E=$\frac{U}{l}$  ④
聯(lián)立①②③④式得：y=$\frac{2qlU}{m{v}_{0}^{2}}$ 
（2）設(shè)粒子射入點(diǎn)坐標(biāo)為y時(shí)，到達(dá)P點(diǎn)的速度v，豎直分速度為v_y，速度偏角為α，
則：vcosα=v₀ ⑥
v_y=at  ⑦
tanα=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{x}}$ ⑧
聯(lián)立①③④⑥⑦⑧式得：
tanα=$\frac{2qU}{m{v}_{0}^{2}}$  ⑨
設(shè)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B時(shí)，在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$  ⑩
設(shè)則該粒子從磁場(chǎng)邊界的Q點(diǎn)射出，由幾何關(guān)系得
PQ=2Rcosα⑪
聯(lián)立⑥⑩⑪式得：
PQ=$\frac{2m{v}_{0}}{qB}$⑫
則從O、M之間任意點(diǎn)射入的粒子，都會(huì)到達(dá)Q點(diǎn)．
由⑤⑨式可知：到達(dá)Q點(diǎn)的粒子在水平向左及斜向左下方45⁰的范圍內(nèi)，且水平分速度均為v₀，故要使所有粒子都達(dá)到y(tǒng)軸，由幾何關(guān)系知：
QN≥2l⑬
聯(lián)立⑩⑫⑬得：
B≤$\frac{2m{v}_{0}}{3ql}$⑭
故磁感應(yīng)強(qiáng)度的最大值為$\frac{2m{v}_{0}}{3ql}$
（3）分析可知，所有粒子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t₁和離開磁場(chǎng)到再次到達(dá)y軸的時(shí)間t₃均相等，且
t₁₌t₃₌$\frac{2l}{{v}_{0}}$⑮
在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：t₂=$\frac{π+2α}{2π}T$⑯
由T=$\frac{2πR}{v}$⑰
聯(lián)立⑩⑯⑰式得：
t_2min=$\frac{3πl(wèi)}{2{v}_{0}}$⑱
故粒子從y軸上出發(fā)到再次到達(dá)y軸的最短時(shí)間：
t_min=t₁+t_2min+t₃=$\frac{（8+3π）l}{{2v}_{0}}$
答：（1）粒子射入點(diǎn)坐標(biāo)y與對(duì)應(yīng)偏轉(zhuǎn)電壓U的關(guān)系式為y=$\frac{2qlU}{m{v}_{0}^{2}}$； 
（2）若要使從OM間任意位置射人電場(chǎng)的粒子經(jīng)磁場(chǎng)后均能不與平行金屬板碰撞而直接到達(dá)y軸，求磁感應(yīng)強(qiáng)度的最大值為$\frac{2m{v}_{0}}{3ql}$；
（3）在滿足（2）的磁感應(yīng)強(qiáng)度的最大值條件下求這些粒子從y軸上出發(fā)到再次到達(dá)y軸的最短時(shí)間為$\frac{（8+3π）l}{{2v}_{0}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，畫出粒子軌跡過程圖，根據(jù)其運(yùn)動(dòng)形式選擇合適的規(guī)律解決；偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的合成和分解結(jié)合牛頓第二定律以及運(yùn)動(dòng)學(xué)公式；磁場(chǎng)中粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用洛倫茲力提供向心力與幾何關(guān)系聯(lián)立的方法；注意分析從電場(chǎng)進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)銜接點(diǎn)的速度大小和方向．