Question

15．如圖所示，在xOy坐標(biāo)系內(nèi)，第一象限內(nèi)分布這磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、方向垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，第二象限內(nèi)分布這電場(chǎng)強(qiáng)度為F、方向沿x軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，有一重力不計(jì)，比荷為$\frac{q}{m}$=10C/kg的帶電粒子以垂直于x軸的速度v₀=10m/s，從x軸上的P點(diǎn)進(jìn)入勻強(qiáng)電場(chǎng)，恰好為y軸正半軸為45°角射入磁場(chǎng)，再經(jīng)過(guò)一段時(shí)間又恰好垂直于x軸并通過(guò)x軸上的Q點(diǎn)進(jìn)入第四象限，已知OP之間的距離d=0.5m，且計(jì)算結(jié)果保留兩位有效數(shù)字，試求：
（1）帶電粒子的電性及電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小及粒子從P點(diǎn)到Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間
（3）若在x軸下方再加一垂直xOy坐標(biāo)系向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B′，粒子剛好再次打在P點(diǎn)，試求磁感應(yīng)強(qiáng)度B′的大小及粒子第二次通過(guò)y軸正半軸時(shí)粒子的速度v′的大�。�

Answer 1

分析 （1）帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，由末速度的方向與y軸成45°得用類平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律就能求出電場(chǎng)強(qiáng)度的大�。�
（2）由題設(shè)條件，帶電粒子垂直打在x軸，由幾何關(guān)系可求得粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，由洛侖茲力提供向心力可求得磁感應(yīng)強(qiáng)度大�。�至于從P到Q的時(shí)間應(yīng)該是帶電粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)的時(shí)間之和．
（3）在x軸下方也加上另一磁場(chǎng)，且?guī)щ娏Ｗ佑只氐絇點(diǎn)，從幾何關(guān)系求出帶電粒子在x軸下方做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，由洛侖茲力提供向心力從而求得x軸下方的磁感應(yīng)強(qiáng)度．分別求出粒子第二次經(jīng)過(guò)y軸的水平速度和豎直速度，兩者矢量和就是第二次經(jīng)過(guò)y軸的合速度．

解答 解（1）根據(jù)帶電粒子在電場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)方向可知帶電粒子帶正電．
粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖所示，由恰好與y軸成45°射入磁場(chǎng)可知，離開(kāi)
電場(chǎng)時(shí)v_x=v_y=v₀，則$v=\sqrt{2}{v}_{0}=10\sqrt{2}$m/s． 在電場(chǎng)中沿x軸方向上
做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，有${{v}_{x}}^{2}=2ad$    及Eq=ma
解得：$E=\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{2qd}$=10V/m
（2）在電場(chǎng)中沿x軸方向上做勻加速直線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：
t₁=$\frac{2d}{{v}_{0}}$=0.1s
沿y軸方向的位移為：
l=v₀t₁=2d=1m
由幾何關(guān)系可得圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為：
R=$\sqrt{2}l=\sqrt{2}m$
由帶電粒子做圓周運(yùn)動(dòng)可知：$qvB=m\frac{{v}^{2}}{R}$
所以有：B=$\frac{mv}{qR}$=$\frac{1}{10}×\frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{2}}T$=1.0T
在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t₂=$\frac{135°}{360°}T$=$\frac{3}{8}×\frac{2πR}{v}$=$\frac{3π}{40}s$
所以從P點(diǎn)到Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t_總=t₁+t₂=0.1s+$\frac{3π}{40}s$≈0.34s
（3）根據(jù)題意有：$qvB′=m\frac{{v}^{2}}{R′}$，
由幾何關(guān)系有：2R′=R+Rsin45°+OP=$\frac{3+2\sqrt{2}}{2}m$
解得：B′=$\frac{mv}{qR′}$=$\frac{10\sqrt{2}×4}{10×（3+2\sqrt{2}）}T$≈0.97T
再次進(jìn)入電場(chǎng)后，又做類平拋運(yùn)動(dòng)，可知：
v′_x=v_x=v₀=10m/s，及v′_y=v=10$\sqrt{2}$m/s
所以合速度為：v′=$\sqrt{v{{′}_{x}}^{2}+v{{′}_{y}}^{2}}$=$10\sqrt{3}m/s$=17m/s．
答：（1）帶電粒子帶正電，電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小為10V/m．
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為1.0T，粒子從P點(diǎn)到Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間0.34s．
（3）若在x軸下方再加一垂直xOy坐標(biāo)系向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B′，粒子剛好再次打在P點(diǎn)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B′的大小為0.97T，粒子第二次通過(guò)y軸正半軸時(shí)粒子的速度v′的大小為17m/s．

點(diǎn)評(píng) 本題的物理過(guò)程很明確，直接由物理過(guò)程遵循的規(guī)律列出相應(yīng)的式子，可以得到結(jié)果．要注意的是帶電粒子兩次做勻速圓周運(yùn)動(dòng)后回到P點(diǎn)后再次進(jìn)入電場(chǎng)做類平拋運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)y軸時(shí)合速度是水平和豎直方向分速度的矢量和．