Question

為了探測X星球，載著登陸艙的探測飛船在以該星球中心為圓心，半徑為r₁的圓軌道上運(yùn)動，其總質(zhì)量為m₁，運(yùn)行周期為T₁．隨后釋放登陸艙脫離飛船，登陸艙變軌到離星球更近的半徑為r₂的圓軌道上運(yùn)動，登陸艙的質(zhì)量為m₂，則（　�。�

• A．X星球的質(zhì)量為M=

  4π2r13

  GT12

• B．X星球表面的重力加速度為g_x=

  4π2r1

  T12

• C．登陸艙在r₁與r₂軌道上時的速度大小之比為

  v1

  v2

  =

  v1

  v2

  =

  m1r2 m2r1

• D．登陸艙在半徑為r₂的軌道上做圓周運(yùn)動的周期為T₂=T₁

  r2 r1

Answer 1

分析：研究飛船繞星球做勻速圓周運(yùn)動，根據(jù)萬有引力提供向心力，列出等式求出中心體的質(zhì)量．
研究登陸艙繞星球做勻速圓周運(yùn)動，根據(jù)萬有引力提供向心力，列出等式表示出線速度和周期．再通過不同的軌道半徑進(jìn)行比較．

解答：解：A、研究飛船繞星球做勻速圓周運(yùn)動，根據(jù)萬有引力提供向心力，列出等式：
G

Mm1

r 2 1

=m₁r₁（

2π

T1

）²
得出：M=

4π2r13

GT12

，故A正確．
B、由于該星球的半徑無法求解出，故無法求解該星球表面的重力加速度，故B錯誤．
C、研究登陸艙繞星球做勻速圓周運(yùn)動，根據(jù)萬有引力提供向心力有：
在半徑為R的圓軌道上運(yùn)動：

GMm

R2

=m

v2

R

，得出：v=

GM R

，表達(dá)式里M為中心體星球的質(zhì)量，R為運(yùn)動的軌道半徑．
所以登陸艙在r₁與r₂軌道上運(yùn)動時的速度大小之比為

v1

v2

=

r2 r1

，故C錯誤．
D、研究登陸艙繞星球做勻速圓周運(yùn)動，根據(jù)萬有引力提供向心力，列出等式：
在半徑為r的圓軌道上運(yùn)動：

GMm

R2

=m(

2π

T

)2R，得出：T=2π

R3 GM

．
表達(dá)式里M為中心體星球的質(zhì)量，R為運(yùn)動的軌道半徑．所以登陸艙在r₁與r₂軌道上運(yùn)動時的周期大小之比為：

T1

T2

=

r 3 1 r 3 2

，所以T₂=T₁

r 3 2 r 3 1

，故D錯誤．
故選A．

點(diǎn)評：求一個物理量之比，我們應(yīng)該把這個物理量先用已知的物理量表示出來，再進(jìn)行之比．
向心力的公式選取要根據(jù)題目提供的已知物理量或所求解的物理量選取應(yīng)用．