Question

為了探測(cè)X星球，載著登陸艙的探測(cè)飛船在以星球中心為圓心，半徑為r₁的圓軌道上運(yùn)動(dòng)，周期為T(mén)₁，總質(zhì)量為m₁．隨后登陸艙脫離飛船，變軌到離星球更近的半徑為r₂ 的圓軌道上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)登陸艙的質(zhì)量為m₂，則以下結(jié)論中（　　）
①X星球的質(zhì)量為M=

4π2r1

G T 2 1

          
②X星球表面的重力加速度為gr=

4π2r1

T 2 1

③登陸艙在r₁與r₂軌道上運(yùn)動(dòng)是的速度大小之比為：

v1

v2

=

m1r2 m2r1

④登陸艙在半徑為r₂軌道上做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T2=T1

r 3 2 r 3 1

．

A．①③正確

B．②④正確

C．①④正確

D．②③正確

Answer 1

分析：根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力求出X星球的質(zhì)量．由于X星球的半徑未知，無(wú)法求出星球表面的重力加速度．根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力求出登陸艙在不同軌道上的線速度之比，周期之比，從而知道登陸艙在半徑為r₂軌道上做圓周運(yùn)動(dòng)的周期．

解答：解：①根據(jù)G

Mm1

r12

=m1r1(

2π

T1

)2得，M=

4π2r1

G T 2 1

．故①正確．
②由于X星球的半徑未知，則無(wú)法求出X星球表面的重力加速度．故②錯(cuò)誤．
③根據(jù)G

Mm

r2

=m

v2

r

，得v=

GM r

，則

v1

v2

=

r2 r1

．故③錯(cuò)誤．
④根據(jù)G

Mm

r2

=mr(

2π

T

)2，得T=

4π2r3 GM

，則

T1

T2

=

r13 r23

，所以T2=T1

r 3 2 r 3 1

．故④正確．故C正確．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵掌握萬(wàn)有引力提供向心力這一理論，并能熟練運(yùn)用．