Question

為了探測(cè)X星球，載著登陸艙的探測(cè)飛船在該星球中心為圓心，半徑為r₁的圓軌道上運(yùn)動(dòng)，周期為T(mén)₁，總質(zhì)量為m₁．隨后登陸艙脫離飛船，變軌到離星球更近的半徑為r₂ 的圓軌道上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)登陸艙的質(zhì)量為m₂則X星球的質(zhì)量為

4π2r 3 1

GT 2 1

；登陸艙在r₁與r₂軌道上運(yùn)動(dòng)是的速度大小之比為

r2 r1

；若測(cè)得X星球表面上方衛(wèi)星的周期為T(mén)₀（可以認(rèn)為衛(wèi)星軌道半徑與X星球半徑相等），則X星球的平均密度為

3π

GT 2 0

．（萬(wàn)有引力恒量為G）

Answer 1

分析：研究飛船繞星球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，列出等式求出中心體的質(zhì)量．
研究登陸艙繞星球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，列出等式表示出線速度和周期．再通過(guò)不同的軌道半徑進(jìn)行比較．

解答：解：1、研究載著登陸艙的探測(cè)飛船在該星球中心為圓心，半徑為r₁的圓軌道上運(yùn)動(dòng)，
根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，列出等式：

GMm1

r 2 1

=

m1?4π2r1

T 2 1

M=

4π2r 3 1

GT 2 1

2、研究登陸艙繞星球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力有：
在半徑為r的圓軌道上運(yùn)動(dòng)：

GMm

r 2

=m

v2

r

得出：v=

GM r

，表達(dá)式里M為中心體星球的質(zhì)量，r為運(yùn)動(dòng)的軌道半徑．
所以登陸艙在r₁與r₂軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度大小之比為：

v1

v2

=

r2 r1

．
3、X星球表面上方衛(wèi)星的周期為T(mén)₀（可以認(rèn)為衛(wèi)星軌道半徑與X星球半徑相等），設(shè)X星球半徑為R，
根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，列出等式：

GMm

R 2

=

m ?4π2R

T 2 0

M=

4π2R 3

GT 2 0

 
則X星球的平均密度為ρ=

M

V

=

3π

GT 2 0

．
故答案為：

4π2r 3 1

GT 2 1

，

r2 r1

，

3π

GT 2 0

．

點(diǎn)評(píng)：求一個(gè)物理量之比，我們應(yīng)該把這個(gè)物理量先用已知的物理量表示出來(lái)，再進(jìn)行之比．
向心力的公式選取要根據(jù)題目提供的已知物理量或所求解的物理量選取應(yīng)用．