Question

如圖所示，一豎直光滑絕緣的管內(nèi)有一勁度系數(shù)為k的絕緣彈簧，其下端固定于地面，上端與一質(zhì)量為m，帶電量為+q的小球A相連，整個空間存在一豎直向上的勻強電場，小球A靜止時彈簧恰為原長。另一質(zhì)量也為m的不帶電的絕緣小球B從距A為x₀的P點由靜止開始下落，與A發(fā)生碰撞后一起向下運動(全過程中小球A的電量不發(fā)生變化，重力加速度為g)。
(1)若x₀已知，試求B與A碰撞過程中損失的機械能；
(2)若x₀未知，且B與A在最高點恰未分離，試求A，B運動 到最高點時彈簧的形變量；
(3)在滿足第(2)問的情況下，試求A，B運動過程中的最大速度。

Answer 1

解：(1)設(shè)勻強電場的場強為E，在碰撞前A靜止時有qE=mg ①
解得
在與A碰撞前B的速度為v₀，由機械能守恒定律得 ②

B與A碰撞后共同速度為v₁，由動量守恒定律得mv₀=2mv₁ ③

B與A碰撞過程中損失的機械能△E為 ④
(2)A，B在最高點恰不分離，此時A，B加速度相等，且它們間的彈力為零，設(shè)此時彈簧的伸長量為x₁，則
對B：mg=ma ⑤
對A：mg+kx₁-qE=ma ⑥
所以彈簧的伸長量為
(3)A，B一起運動過程中合外力為零時，具有最大速度v_m，設(shè)此時彈簧的壓縮量為x₂，則
2mg-(qE+kx₂)=0 ⑦

由于x₁=x₂，說明A，B在最高點處與合外力為零處彈簧的彈性勢能相等，對此過程由能量守恒定律得
 ⑧
解得