Question

13．某一星球表面的重力加速度為g，它的半徑為R．在距該星球表面距離為R處有一質(zhì)量為m的衛(wèi)星繞該星球做勻速圓周運(yùn)動，
求：（1）該星球的第一宇宙速度； 
（2）該衛(wèi)星運(yùn)動的周期．

Answer 1

分析 （1）衛(wèi)星繞星球表面運(yùn)行，即衛(wèi)星軌道半徑等于星球半徑時(shí)的速度是地球的第一宇宙速度；
（2）衛(wèi)星繞星球做圓周運(yùn)動的向心力由星球?qū)λ�的萬有引力提供列出等式求解．

解答 解：（1）第一宇宙速度即為星球表面圓周運(yùn)動的速度，由牛頓第二定律可得：$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=$\frac{m{v}^{2}}{R}$
且GM=gR²
解得：v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$=$\sqrt{gR}$
（2）衛(wèi)星離地面為h時(shí)，做圓周運(yùn)動的向心力由星球?qū)λ�的萬有引力提供列出等式$\frac{GMm}{（R+R）^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}（R+R）}{{T}^{2}}$
解得：T=2π$\sqrt{\frac{8{R}^{3}}{GM}}$=2$π\(zhòng)sqrt{\frac{8R}{g}}$
答：（1）該星球的第一宇宙速度為$\sqrt{gR}$ 
（2）衛(wèi)星運(yùn)行的周期為2$π\(zhòng)sqrt{\frac{8R}{g}}$．

點(diǎn)評 本題考查了求地球的第一宇宙速度，知道第一宇宙速度的概念、熟練應(yīng)用萬有引力公式及向心力公式即可正確解題．