Question

14．如圖所示，光滑的金屬導軌固定在絕緣水平面上，導軌足夠長，電阻不計，兩軌間距為L，其左端連接一阻值為R的電阻．導軌處在豎直向下的勻強磁場中，磁感應強度大小為B，一質量為m的金屬棒，放置在導軌上，其電阻為r，某時刻一水平力F垂直作用在金屬棒中點，金屬棒從靜止開始做勻加速直線運動，已知加速度大小為a，金屬棒始終與導軌接觸良好．
（1）從力F作用開始計時，請推導F與時間t關系式；
（2）F作用時間t₀后撤去，求金屬棒能繼續(xù)滑行的距離S．

Answer 1

分析 （1）根據E=BLv、I=$\frac{E}{R+r}$、F_安=BIL得到安培力與速度的關系式．速度與時間的關系是v=at．再由牛頓第二定律推導F與t的關系即可；
（2）先求出撤去F時棒的速度．撤去外力后，根據動量定理得到速度變化量，再求和可求解．

解答 解：（1）設t時刻，電路中電流為I，對金屬棒由：F-BIL=ma①
根據閉合電路歐姆定律可得BLv=I（R+r）②
金屬棒速度v=at③
聯立解得$F=\frac{{{B^2}{L^2}}}{R+r}at+ma$
（2）撤去F瞬間，金屬棒速度v₀=at₀
在△t時間內，取金屬棒速度方向為正方向．
由動量定理-ILB△t=m△v
兩邊求和$\sum{-ILB△t=m△v}=\sum{m△v}$
BLv=I（R+r）
聯立可得$-\frac{{{B^2}{L^2}}}{r+R}\sum{vt}=-ma{t_0}$
即$S=\frac{{ma{t_0}（R+r）}}{{{B^2}{L^2}}}$
答：（1）從力F作用開始計時，請推導F與時間t關系式為$F=\frac{{{B^2}{L^2}}}{R+r}at+ma$；
（2）F作用時間t₀后撤去，求金屬棒能繼續(xù)滑行的距離為$\frac{ma{t}_{0}（R+r）}{{B}^{2}{L}^{2}}$．

點評 解決本題的關鍵：一、要熟練推導出安培力與速度的關系式．二、能運用微元法求解變減速運動的位移，其切入點是動量定理的運用．也可用牛頓第二定律和加速度的定義式．