Question

6．我國發(fā)射的“嫦娥三號”登月探側(cè)器察近月球后，先在月球表面附近的近似圓軌道上繞月運行，然后經(jīng)過一系列過程，在離月面4m高處做一次懸停（可認(rèn)為是相對于月球靜止）；最后關(guān)閉發(fā)動機(jī)，探側(cè)器自由下落．已知探側(cè)器的質(zhì)量約為1.3×10³kg，地球質(zhì)量約為月球的81倍，地球半徑約為月球的3.7倍，地球表面的重力加速度大小約為9.8m/s²．則
（1）懸停時探測器受到的反沖作用力約為多少？
（2）此探側(cè)器在著陸前的瞬間，速度大小約為多少？
（3）若已知地球第一宇宙速度為7.9×10³m/s，則探測器在近月圓軌道上運行的線速度約為多少？（本題所有計算結(jié)果都保留2位有效數(shù)字）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬有引力提供向心力得月球表面重力加速度，根據(jù)二力平衡得出懸停時受到的反沖擊作用力大��；
（2）根據(jù)運動學(xué)公式得出著陸前的瞬間速度；
（3）根據(jù)$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$求近月衛(wèi)星的線速度；

解答 解：（1）根據(jù)萬有引力等于重力$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=mg$，得$g=G\frac{M}{{R}_{\;}^{2}}$，地球質(zhì)量約為月球的81倍，地球半徑約為月球的3.7倍，地球表面的重力加速度大小約為9.8$m/{s}_{\;}^{2}$
所以月球表面重力加速度大小約為g′=$G\frac{\frac{1}{81}M}{（\frac{R}{3.7}）_{\;}^{2}}=\frac{（3.7）_{\;}^{2}}{81}G\frac{M}{{R}_{\;}^{2}}=\frac{（3.7）_{\;}^{2}}{81}×9.8$=$1.66m/{s}_{\;}^{2}$
登月探測器懸停時，二力平衡，F(xiàn)=mg′=$1.3×1{0}_{\;}^{3}×1.66≈2×1{0}_{\;}^{3}N$
（2）根據(jù)運動學(xué)公式得在著陸前的瞬間，速度大小約為$v=\sqrt{2g′h}$=$\sqrt{2×1.66×4}=3.6m/s$
（3）根據(jù)萬有引力提供向心力，有
$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
解得：$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}$
月球的近地衛(wèi)星的運行速度為$v=\sqrt{\frac{G{M}_{月}^{\;}}{{R}_{月}^{\;}}}=\sqrt{\frac{G\frac{1}{81}{M}_{地}^{\;}}{\frac{1}{3.7}{R}_{地}^{\;}}}=\sqrt{\frac{3.7}{81}}\sqrt{\frac{G{M}_{地}^{\;}}{{R}_{地}^{\;}}}$$\sqrt{\frac{3.7}{81}}×7.9$km/s=1.7km/s
答：（1）懸停時探測器受到的反沖作用力約為$2×1{0}_{\;}^{3}$N
（2）此探側(cè)器在著陸前的瞬間，速度大小約為3.6m/s
（3）若已知地球第一宇宙速度為7.9×10³m/s，則探測器在近月圓軌道上運行的線速度約為1.7km/s

點評 關(guān)于萬有引力的應(yīng)用中，常用公式是在地球表面重力等于萬有引力，衛(wèi)星繞地球做圓周運動萬有引力提供圓周運動向心力．