Question

17．一人造衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌道半徑為r，運(yùn)行周期為T，引力常量為G．
（1）求地球的質(zhì)量M；
（2）若人造衛(wèi)星變軌后，軌道半徑變?yōu)?r，求人造衛(wèi)星在新軌道上運(yùn)行的周期．

Answer 1

分析 （1）衛(wèi)星繞地球圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力，據(jù)此求得中心天體地球的質(zhì)量M；
（2）根據(jù)萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力，即可求出．

解答 解：（1）衛(wèi)星繞地球圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力有：$G\frac{mM}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
依此解得地球的質(zhì)量為：M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$
（2）軌道半徑變?yōu)?r時(shí)有：$G\frac{mM}{{（2r）}^{2}}=m•2r\frac{4{π}^{2}}{{T′}^{2}}$
聯(lián)立得：T′=$2\sqrt{2}T$
答：（1）地球的質(zhì)量M是$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$；
（2）人造衛(wèi)星在新軌道上運(yùn)行的周期是$2\sqrt{2}T$．

點(diǎn)評 萬有引力在天文學(xué)上的應(yīng)用主要是根據(jù)萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力來計(jì)算中心天體的質(zhì)量，注意只能計(jì)算中心天體不能計(jì)算環(huán)繞天體的質(zhì)量．