Question

4． 如圖所示，一矩形金屬框架與水平面成角θ=37°，寬L=0.4m，上、下兩端各有一個電阻R₀=2Ω，框架其它部分的電阻不計，框架足夠長，垂直于金屬框平面的方向有一向上的勻強磁場，磁感應強度B=1.0T．ab為金屬桿，與框架良好接觸，其質量m=0.1kg、電阻r=1.0Ω，桿與框架的動摩擦因數μ=0.5．桿ab由靜止開始下滑，在速度達到最大的過程中，框架上端電阻R₀中產生的熱量Q₀=0.5J．（取g=10m/s²，sin37°=0.6）．求：
（1）流過R₀的最大電流；
（2）從開始到速度達到最大的過程中，ab桿沿斜面下滑的距離．

Answer 1

分析 （1）導體棒沿斜面向下先做加速運動，后做勻速運動，導體棒達到最大速度時，受力平衡，寫出受力平衡的方程，即可求得最大電流；
（2）當電阻R₀中產生的熱量Q₀=0.5J，根據焦耳定律分析電路中產生的總熱量．棒下滑過程中，重力勢能轉化為棒的動能、回路的焦耳熱和摩擦生熱，根據動能定理解答該題．

解答 解：（1）當導體棒做勻速運動時，速度最大，感應電流最大，
由平衡條件得：BIL+μmgcosθ=mgsinθ，ab中有最大電流I_m，
解得：I_m=$\frac{（sinθ-μcosθ）mg}{BL}$=$\frac{（0.6-0.5×0.8）×0.1×10}{1.0×0.4}$ A=0.5A，
流過R₀的最大電流為：I₀=$\frac{Im}{2}$=0.25A．
（2）由題意可知：Q₀=0.5J，由Q=I²Rt得知電路中產生的總熱量為：Q_總=4Q_o=2J，
感應電動勢為：E=I_mR_總=0.5×2 V=1.0V，
此時桿的速度為：v_m=$\frac{E}{BL}$=$\frac{1.0}{1.0×0.4}$m/s=2.5m/s，
由動能定理得：mgxsin θ-μmgxcos θ-Q_總=$\frac{1}{2}$mv${\;}_{m}^{2}$-0，
解得，桿下滑的距離：x=$\frac{m{v}_{m}^{2}+2{Q}_{總}}{2mg（sinθ-μcosθ）}$=$\frac{0.1×2.52+2×2}{2×0.1×10×（0.6-0.5×0.8）}$ m≈11.56 m．
答：（1）流過R₀的最大電流為0.25A；
（2）從開始到速度達到最大的過程中，ab桿沿斜面下滑的距離為11.56m．

點評 該題是電磁感應的綜合應用，涉及到受力平衡、法拉第電磁感應定律、閉合電路的歐姆定律以及能量的轉化與守恒，綜合性相對較強，要求的能力也比較高．