Question

18．2003年10月15日，我國神舟五號載人飛船成功發(fā)射．標(biāo)志著我國的航天事業(yè)發(fā)展到了一個很高的水平．飛船在繞地球飛行的第5圈進行變軌，由原來的橢圓軌道變?yōu)榫嗟孛娓叨葹閔的圓形軌道．已知地球半徑為R，地面處的重力加速度為g，引力常量為G，求：
（1）地球的質(zhì)量；
（2）飛船在上述圓形軌道上運行的周期T．

Answer 1

分析 在地球表面，重力和萬有引力相等，神舟五號飛船軌道上，萬有引力提供飛船做圓周運動的向心力．

解答 解：（1）根據(jù)在地面重力和萬有引力相等，則有
$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg
解得：M=$\frac{{gR}^{2}}{G}$
（2）設(shè)地球質(zhì)量為M，飛船質(zhì)量為m，速度為v，地球的半徑為R，神舟五號飛船圓軌道的半徑為r，飛船軌道距地面的高度為h，
則據(jù)題意有：r=R+h
飛船在軌道上飛行時，萬有引力提供向心力有：
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}r}{{T}^{2}}$
T=2π$\sqrt{\frac{{（R+h）}^{3}}{{gR}^{2}}}$，
答：（1）地球的質(zhì)量是$\frac{{gR}^{2}}{G}$；
（2）飛船在上述圓形軌道上運行的周期T是2π$\sqrt{\frac{{（R+h）}^{3}}{{gR}^{2}}}$．

點評 萬有引力的應(yīng)用兩點注意：（1）星球表面的重力和萬有引力相等；（2）環(huán)繞天體受的萬有引力提供環(huán)繞天體圓周運動的向心力．注意軌道半徑和距地面距離的關(guān)系．