Question

如圖甲所示，一個(gè)質(zhì)量為m，帶電量為q的離子，從D點(diǎn)以某一初速度垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)．磁場(chǎng)方向垂直紙面向內(nèi)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．正離子的初速度方向在紙面內(nèi)，與直線AD的夾角為60°．結(jié)果粒子正好穿過AD的垂線上離A點(diǎn)距離為d的小孔C，垂直AC的方向進(jìn)入AC右邊的勻強(qiáng)電場(chǎng)中．電場(chǎng)的方向與AC平行．離子最后打在DA直線上的P點(diǎn)．P到A的距離為2d．不計(jì)重力，
求：（1）離子從D到P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間；
（2）離子到達(dá)P點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能．

Answer 1

分析：（1）畫出離子的運(yùn)動(dòng)軌跡，由幾何知識(shí)求出離子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r．離子在磁場(chǎng)中由洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律和圓周運(yùn)動(dòng)公式結(jié)合可求出半徑和周期．找出離子在磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)軌跡所對(duì)應(yīng)的圓心角，可求得時(shí)間．離子進(jìn)入電場(chǎng)后做類平拋運(yùn)動(dòng)，水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向做勻加速運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式即可求出離子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．即能求出總時(shí)間．
（2）由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可求出離子在電場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的距離，根據(jù)動(dòng)能定理求出離子到達(dá)P處時(shí)的動(dòng)能．

解答：解：（1）畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖．

由幾何關(guān)系：R+Rsin30°=d
得：R=

2

3

d
由洛倫茲力提供向心力：qvB=

mv2

R

得：v=

2Bqd

3m

粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)周期：T=

2πR

v

=

2πm

qB

粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：t=

120°

360°

T=

2πm

3qB

粒子在電場(chǎng)中作類平拋運(yùn)動(dòng)：水平勻速，豎直勻加速
d=

1

2

at2=

1

2

vyt2
2d=vt₂
解得vy=v=

2Bqd

3m

t2=

2d

v

=

3m

qB

所以，粒子從D到P的時(shí)間為：t=t1+t2=

2πm

3qB

+

3m

qB

=

(2π+9)m

3qB

粒子到達(dá)P的動(dòng)能：EK=

1

2

m(v2+

v

2 y

)=mv2=

4B2q2d2

9m

答：：（1）離子從D到P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=

(2π+9)m

3qB

；
（2）離子到達(dá)P點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能EK=

4B2q2d2

9m

．

點(diǎn)評(píng)：本題離子在組合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問題，離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)畫軌跡是解題的關(guān)鍵，在電場(chǎng)中運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解進(jìn)行研究．