Question

18．地磁場(chǎng)可以減少宇宙射線中的帶電粒子對(duì)地球上生物體的危害．研究地磁場(chǎng)，某研究小組模擬了一個(gè)地磁場(chǎng)．如圖，模擬地球半徑為R，地球赤道平面附近的地磁場(chǎng)簡(jiǎn)化為赤道上方厚度為2R、磁場(chǎng)感應(yīng)度強(qiáng)度大小為B、方向垂直于赤道平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．磁場(chǎng)邊緣A處有一粒子源，可在赤道平面內(nèi)以不同速度向各個(gè)方向射入某種帶正電粒子．研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)粒子速度為2v時(shí)，沿徑向方向射入磁場(chǎng)的粒子恰不能到達(dá)模擬地球．不計(jì)粒子重力及大氣對(duì)粒子運(yùn)動(dòng)的影響，且不考慮相對(duì)論效應(yīng)．
（1）請(qǐng)畫出速度為2v、沿徑向方向射入磁場(chǎng)的粒子軌跡，并求此粒子的比荷（$\frac{q}{m}$）；
若該種粒子的速度為v，則這種粒子到達(dá)模擬地球的最短時(shí)間是多少？
（3）試求速度為2v的粒子到達(dá)地球粒子數(shù)與進(jìn)入地磁場(chǎng)粒子數(shù)總數(shù)比值η．（結(jié)果用反三角函數(shù)表示．例：sinθ=k，則θ=arcsink，θ為弧度．）

Answer 1

分析 （1）作出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，根據(jù)幾何關(guān)系求出半徑，結(jié)合半徑公式求出粒子的比荷．
（2）粒子以速度v進(jìn)入磁場(chǎng)，根據(jù)半徑公式求出粒子在磁場(chǎng)中的半徑，結(jié)合幾何關(guān)系，運(yùn)用周期公式求出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間．
（3）沿徑向方向射入的粒子會(huì)和地球相切而出，和AO方向成θ角向上方射入磁場(chǎng)的粒子也恰從地球上沿相切射出，在此θ角范圍內(nèi)的粒子能到達(dá)地球，其余進(jìn)入磁場(chǎng)粒子不能到達(dá)地球．通過幾何關(guān)系求出速度為2v的粒子到達(dá)地球粒子數(shù)與進(jìn)入地磁場(chǎng)粒子數(shù)總數(shù)比值η．

解答 解：（1）其軌跡如圖1所示（和地球相切）
設(shè)該粒子軌跡半徑為r，則根據(jù)幾何關(guān)系：（r+R）²=r²+（3R）²    ①
解得r=4R    ②
又$q•（2v）B=m\frac{（2v）^{2}}{r}$    ③
由②③得，$\frac{q}{m}=\frac{v}{2BR}$   ④
（2）速度為v的粒子進(jìn)入磁場(chǎng)有：$qvB=m\frac{{v}^{2}}{r′}$   ⑤
由④⑤得，r′=2R   ⑥
若要時(shí)間最短，則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的弧長(zhǎng)最短，故從A斜向上射入，在A交點(diǎn)E到達(dá)地球的弦長(zhǎng)最短時(shí)間最短．
AE=AD=DE=2R，
故∠ADE=60°，
得：${t}_{min}=\frac{60°}{360°}\frac{2πm}{qB}=\frac{2πR}{3v}$．
（3）沿徑向方向射入的粒子會(huì)和地球相切而出，和AO方向成θ角向上方射入磁場(chǎng)的粒子也恰從地球上沿相切射出，在此θ角范圍內(nèi)的粒子能到達(dá)地球，其余進(jìn)入磁場(chǎng)粒子不能到達(dá)地球．
作A點(diǎn)該速度垂直和過切點(diǎn)與O點(diǎn)連線延長(zhǎng)線交于F點(diǎn)，則F點(diǎn)為圓心，如圖3．
AF=4R，AO=OF=3R，得sinθ=$\frac{AG}{AO}=\frac{2}{3}$，
故η=$\frac{θ}{π}=\frac{arcsin\frac{2}{3}}{π}$．
答：（1）此粒子的比荷為$\frac{v}{2BR}$；
（2）這種粒子到達(dá)模擬地球的最短時(shí)間是$\frac{2πR}{3v}$；
（3）速度為2v的粒子到達(dá)地球粒子數(shù)與進(jìn)入地磁場(chǎng)粒子數(shù)總數(shù)比值η為$\frac{arcsin\frac{2}{3}}{π}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，掌握粒子在磁場(chǎng)中半徑公式和周期公式，關(guān)鍵作出軌跡圖，結(jié)合臨界情況，運(yùn)用幾何關(guān)系進(jìn)行求解，難度較大．