Question

10．水平放置、足夠長(zhǎng)的光滑平行金屬導(dǎo)軌MN和PQ相距L=0.3m，接在MP之間的定值電阻R₀=0.9Ω；質(zhì)量M=80g電阻R=0.3Ω的金屬棒ab靜止在金屬導(dǎo)軌上，oc、cd和db三段的長(zhǎng)度相同、電阻值相等，金屬棒與導(dǎo)軌接觸良好；導(dǎo)軌和連線的電阻不計(jì)，整個(gè)裝置處在垂直于軌道平面向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1T，俯視如圖．現(xiàn)有一質(zhì)量為m=20g的粘性橡皮泥，以向右的水平速度v₀=10m/s擊中cd段的中央，并在極短時(shí)間內(nèi)粘在棒上一起運(yùn)動(dòng)．
（1）橡皮泥剛好與金屬棒具有共同速度時(shí)，求金屬棒兩端的電勢(shì)差U_ab；
（2）金屬棒在向右滑動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)加速度大小等于最大值的l/2時(shí)，求電阻R₀的電功率P．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)動(dòng)量守恒定律求出橡皮泥與金屬棒碰撞后的共同速度．由E=Bdv求出ac、cd、cb各段產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)．金屬棒兩端的電勢(shì)差U_ab等于cd間的電勢(shì)差和導(dǎo)軌之外ac、da所產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)之和．
（2）金屬棒在向右滑動(dòng)的過(guò)程中做減速運(yùn)動(dòng)，產(chǎn)生的感應(yīng)電流減小，受到的安培力減小，加速度減小，所以剛開始運(yùn)動(dòng)時(shí)加速度最大，根據(jù)牛頓第二定律求出速度，再由電磁規(guī)律求電阻R₀的電功率P．

解答 解：（1）設(shè)橡皮泥與金屬棒碰撞后的共同速度為v．取向右為正方向，由動(dòng)量守恒定律得：
mv₀=（m+M）v
可得：v=2m/s
金屬棒上各段產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：E_ac=E_cd=E_db=BLv=1×0.3×2=0.6V
回路MPdc中，有：U_cd=$\frac{{R}_{0}}{{R}_{0}+\frac{1}{3}R}$E_cd=$\frac{0.9}{0.9+0.1}$×0.6V=0.54V　
開路部分有：U_ac=U_db=E_ac=E_db=0.6V
則a、b間電勢(shì)差為：U_ab=U_ac+U_cd+U_db=0.6V+0.54V+0.6V=1.74V
（2）金屬棒在向右滑動(dòng)的過(guò)程中做減速運(yùn)動(dòng)，產(chǎn)生的感應(yīng)電流減小，棒受到的安培力減小，加速度減小，所以剛開始運(yùn)動(dòng)時(shí)加速度最大，根據(jù)牛頓第二定律得：
 開始時(shí)  F_安=ma．
又 F_安=BIL=B$\frac{BLv}{{R}_{0}+\frac{1}{3}R}$L=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{{R}_{0}+\frac{1}{3}R}$
設(shè)棒的加速度大小等于最大值的$\frac{1}{2}$時(shí)速度為v′．
則有：$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v′}{{R}_{0}+\frac{1}{3}R}$=m•$\frac{1}{2}$a
對(duì)比可得：v′=$\frac{1}{2}$v=1m/s
回路中感應(yīng)電流為：I=$\frac{BLv′}{{R}_{0}+\frac{1}{3}R}$=$\frac{1×0.3×1}{0.9+0.1}$A=0.3A
電阻R₀的電功率為：P=I²R₀=0.3²×0.9W=0.081W
答：（1）金屬棒兩端的電勢(shì)差U_ab是1.74V．
（2）電阻R₀的電功率P是0.081W．

點(diǎn)評(píng) 本題中第1題要搞清楚電路的結(jié)構(gòu)，分析清楚ab間電勢(shì)差與各段電壓的關(guān)系，注意不能將ac、cb兩段電動(dòng)勢(shì)．第2題要能熟練推導(dǎo)安培力與速度的關(guān)系式．