Question

3．如圖為一圓柱形勻強磁場區(qū)域的橫截面（紙面）的示意圖，磁感應(yīng)強度大小為B，方向垂直于紙面向內(nèi)．一電荷量為q（q＞0）、質(zhì)量為m的粒子沿直徑ab的方向從a點以速度v₀射入磁場區(qū)域，粒子射出磁場與射入磁場時運動方向間的夾角為90°．若粒子以平行于直徑ab的方向從P點仍以速度v₀射入磁場區(qū)域，P點與ab的距離為圓的半徑的$\frac{1}{3}$，粒子從圓上的Q點（圖中未畫出）離開該區(qū)域．現(xiàn)將磁場換為平行于紙面且垂直于直徑ab的勻強電場，同一粒子以同樣速度沿直線在P點射入柱形區(qū)域，也從Q點離開該區(qū)域．不計重力，求：
（1）圓形磁場的半徑；
（2）P、Q兩點間的距離；
（3）勻強電場的電場強度大�。�

Answer 1

分析 （1）根據(jù)幾何關(guān)系得粒子做勻速圓周運動的軌道半徑等于圓形磁場的半徑，求出粒子的軌道半徑即可得到圓形磁場的半徑
（2）畫出粒子運動的軌跡圖，根據(jù)幾何關(guān)系求出PQ兩點間的距離
（3）粒子在電場中做類平拋運動，根據(jù)類平拋運動的規(guī)律求勻強電場的場強

解答 解：（1）依題意可知，圓形磁場半徑R等于粒子運動的軌道半徑r，R=r
由牛頓第二定律與洛倫茲力的公式得：
$q{v}_{0}^{\;}B=m\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$
解得$r=\frac{m{v}_{0}^{\;}}{qB}$
所以所求圓形磁場的半徑$R=\frac{m{v}_{0}^{\;}}{qB}$
（2）由幾何關(guān)系可知圖中的四邊形OPO′Q為菱形，且OQ垂直于直徑ab，如圖所示，

由幾何關(guān)系可知：$OO′=\sqrt{{R}_{\;}^{2}-（\frac{R}{3}）_{\;}^{2}+（\frac{2R}{3}）_{\;}^{2}}=\frac{2\sqrt{3}R}{3}$
$PQ=2\sqrt{{R}_{\;}^{2}-（\frac{OO′}{2}）_{\;}^{2}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}R$
所以$PQ=\frac{2\sqrt{6}}{3}\frac{m{v}_{0}^{\;}}{qB}$
（3）在電場中，粒子的水平方向位移為$x=\frac{4}{3}\frac{m{v}_{0}^{\;}}{qB}$
粒子的豎直方向位移為$y=\frac{2\sqrt{2}}{3}\frac{m{v}_{0}^{\;}}{qB}$
由運動學(xué)公式得
$x=\frac{1}{2}a{t}_{\;}^{2}$
$y={v}_{0}^{\;}t$
粒子的加速度$a=\frac{qE}{m}$
解得$E=3B{v}_{0}^{\;}$
答：（1）圓形磁場的半徑$\frac{m{v}_{0}^{\;}}{qB}$；
（2）P、Q兩點間的距離$\frac{2\sqrt{2}}{3}\frac{m{v}_{0}^{\;}}{qB}$；
（3）勻強電場的電場強度大小$3B{v}_{0}^{\;}$．

點評 本題考查了粒子在磁場中的運動，分析清楚粒子運動過程、作出粒子運動軌跡，應(yīng)用牛頓第二定律即可正確解題，由幾何知識求出粒子運動軌跡是正確解題的前提與關(guān)鍵．