Question

15．光滑球面與光滑斜面構(gòu)成如圖所示裝置，該裝置固定在水平地面上（圖為截面圖），其中AB為$\frac{1}{4}$圓弧，BC為傾角θ的斜面．質(zhì)量為m₁的滑塊位于球面的底端，質(zhì)量為m₂的滑塊位于斜面上，兩滑塊用一細線相連．由靜止釋放m₂后，在細線拉力作用下m₁沿球面上滑，當滑到球面最高點速度為v時，m₂恰好滑到斜面底端，此時細線斷開（不再對物塊產(chǎn)生作用），此后m₂滑上質(zhì)量為M的足夠長的薄木板（滑上瞬間無能量損失）．已知M=2m₂，m₂與M間的動摩擦因數(shù)為μ，地面光滑，重力加速度為g，求：

（1）m₁到達球面最高點時對球面的壓力大小；
（2）當m₁第一次落到斜面上時，m₂仍在M上滑動，則此時m₂距M左端多遠？

Answer 1

分析 （1）由機械能守恒求的m₁到達最高點的速度，由牛頓第二定律求的作用力；
（2）m₁做平拋運動求的運動時間，m2做勻減速運動，M做勻加速運動，利用運動學公式求的位移即可

解答 解：（1）由機械能守恒得：${m}_{2}g\frac{πR}{2}sinθ={m}_{1}gR+\frac{1}{2}（{m}_{1}+{m}_{2}）{v}^{2}$
對m₁由牛頓第二定律得：${m}_{1}g-F=\frac{{m}_{1}{v}^{2}}{R}$
解得：$F=\frac{{m}_{1}}{{m}_{1}+{m}_{2}}（3{m}_{1}+{m}_{2}-π{m}_{2}sinθ）g$
由牛頓第三定律可知m₁對球面的壓力為：F′=$\frac{{m}_{1}}{{m}_{1}+{m}_{2}}（3{m}_{1}+{m}_{2}-π{m}_{2}sinθ）g$
（2）m₁做平拋運動
x=vt  
$y=\frac{1}{2}g{t}^{2}$
有幾何關系：$\frac{y}{x}=tanθ$
解得：$t=\frac{2vtanθ}{g}$
m₂做勻減速運動，有：μm₂g=m₂a₂
${x}_{2}=vt-\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}$
M做勻加速運動，有：μM₂g=Ma_M
${x}_{M}=\frac{1}{2}{a}_{M}{t}^{2}$
解得：$△x={x}_{2}-{x}_{M}=\frac{{v}^{2}}{g}（2-3μtanθ）tanθ$
答：（1）m₁到達球面最高點時對球面的壓力大小為$\frac{{m}_{1}}{{m}_{1}+{m}_{2}}（3{m}_{1}+{m}_{2}-π{m}_{2}sinθ）g$；
（2）當m₁第一次落到斜面上時，m₂仍在M上滑動，則此時m₂距M左端為$\frac{{v}^{2}}{g}（2-3μtanθ）tanθ$

點評 本題主要考查了機械能守恒，平拋運動，在解決相對位移時，抓住加速度是解決問題的關鍵即可