Question

11．如圖所示，從 A點(diǎn)以v₀=4m/s的水平速度拋出一質(zhì)量m=1kg的小物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)），當(dāng)小物塊運(yùn)動(dòng)至B點(diǎn)時(shí)，恰好沿切線方向進(jìn)入固定的光滑圓弧軌道BC，經(jīng)圓弧軌道后滑上與C點(diǎn)等高、靜止在光滑水平面的長(zhǎng)木板上，圓弧軌道C端切線水平．已知長(zhǎng)木板的質(zhì)量M=4kg，A、B兩點(diǎn)距C點(diǎn)的高度分別為H=0.6m、h=0.15m，R=0.75m，小物塊與長(zhǎng)木板之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₁=0.5，g=10m/s²．求：
（1）小物塊運(yùn)動(dòng)至B點(diǎn)時(shí)的速度大小和方向；
（2）小物塊滑動(dòng)至C點(diǎn)時(shí)，對(duì)圓弧軌道C點(diǎn)的壓力大��；
（3）長(zhǎng)木板至少為多長(zhǎng)，才能保證小物塊不滑出長(zhǎng)木板．

Answer 1

分析 （1）已知平拋的拋出高度求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，從而求出豎直方向的速度，用運(yùn)動(dòng)的合成與分解求解B點(diǎn)時(shí)的速度大小和方向；
（2）小物塊在BC間做圓周運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)，在C點(diǎn)時(shí)軌道支持力和重力的合力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，據(jù)此求解即可；
（3）根據(jù)物塊在長(zhǎng)木板上滑動(dòng)時(shí)，物塊的位移-長(zhǎng)木板的位移應(yīng)該小于等于長(zhǎng)木板的長(zhǎng)度這一臨界條件展開(kāi)討論即可．

解答 解：（1）設(shè)小物塊做平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，則有：
H-h=$\frac{1}{2}$gt²
設(shè)小物塊到達(dá)B點(diǎn)時(shí)豎直分速度為v_y，
v_y=gt，
由以上兩式解得：v_y=3 m/s   
則B點(diǎn)速度${v}_{B}=\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}=5m/s$
設(shè)速度方向與水平面的夾角為θ，則tan=$θ=\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=\frac{3}{4}$，
解得：θ=37°    
（2）設(shè)小物塊到達(dá)C點(diǎn)時(shí)速度為v_C，從B至C點(diǎn)，由動(dòng)能定理得：
$mgh=\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$
設(shè)C點(diǎn)受到的支持力為F_N，則有：
F_N-mg=$\frac{m{{v}_{C}}^{2}}{R}$
解得：v_C=2$\sqrt{7}$m/s，
F_N=47.3 N
根據(jù)牛頓第三定律可知，小物塊對(duì)圓弧軌道C點(diǎn)的壓力大小為47.3 N     
（3）由題意可知小物塊對(duì)長(zhǎng)木板的摩擦力F_f1=μ₁mg=5 N
長(zhǎng)木板與地面間的最大靜摩擦力近似等于滑動(dòng)摩擦力
F_f′2=μ₂（M+m）g=10 N
因F_f1＜F_f′2，所以小物塊在長(zhǎng)木板上滑動(dòng)時(shí)，長(zhǎng)木板靜止不動(dòng)             
設(shè)小物塊在長(zhǎng)木板上做勻減速運(yùn)動(dòng)，至長(zhǎng)木板最右端時(shí)速度剛好為0
則長(zhǎng)木板長(zhǎng)度為l=$\frac{{{v}_{C}}^{2}}{2{μ}_{1}g}$=2.8 m
所以長(zhǎng)木板至少為2.8 m，才能保證小物塊不滑出長(zhǎng)木板．              
答：（1）小物塊運(yùn)動(dòng)至B點(diǎn)時(shí)的速度大小為5m/s，方向與水平面的夾角為37°；
（2）小物塊滑動(dòng)至C點(diǎn)時(shí)，對(duì)圓弧軌道C點(diǎn)的壓力大小47.3 N；
（3）長(zhǎng)木板至少為2.8 m，才能保證小物塊不滑出長(zhǎng)．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵要理清物塊在多個(gè)不同運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，掌握物塊各個(gè)階段的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵．