Question

如圖所示，坐標系xOy所在的豎直面內，有垂直平面向里的勻強磁場，磁感應強度大小為B，在x＜0的空間內，還有沿x軸負方向的勻強電場，場強為E．一個帶正電的油滴經(jīng)圖中x軸上的M點沿著與水平方向成α＝30°的方向斜向下做直線運動，直到進入x＞0的區(qū)域．要使油滴在x＞0的區(qū)域在豎直面內做勻速圓周運動，并通過x軸上的N點，且，則

(1)帶電粒子運動的速率為多少？

(2)在x＞0的區(qū)域需加何種電場？

(3)粒子從M點到N點所用的時間為多少？

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)帶電油滴在x＜0的區(qū)域內受重力mg、電場力F1＝Eq和洛倫茲力F2的作用，因油滴沿直線運動，故洛倫茲力F2的方向不變．因重力mg、電場力F1是恒定的，則F2一定恒定，因此油滴速度不變，其受力如圖所示．油滴帶正電，由平衡條件知 　　mg＝Eq·cotα�、� 　　Bqv＝Eq/sinα�、� 　　解得v＝． 　　(2)帶電油滴進入x＞0的區(qū)域后做勻速圓周運動，除受重力mg和洛倫茲力F2外，一定要受電場力的作用，且＝E1q＝m g�、� 　　由①③得E1＝Ecotα＝3E，此為x＞0區(qū)域內電場強度的大小，因粒子帶正電，E1的方向應豎直向上． 　　(3)油滴在復合場中的運動軌跡如圖所示，過P作⊥MP，則圓心必在上．因∠PNO1＝∠O1PN(O1為與x軸的交點)，則O1即為圓心位置．設半徑為R，有2×Rcos30°＝，＝R 　　又Bqv＝m；＝．設從M→P的時間為t1則t1＝，設從P→N的時間為t2 　　則由幾何知識知油滴在x＞0區(qū)域內由P到N所做圓周運動對應的圓心角∠PO1N＝120°，所以對應的時間t2＝T＝ 　　因此油滴從M→N運動的總時間t＝t1＋t2＝．又由①知，所以t＝． 　　解析：油滴在x＜0的區(qū)域內運動時受恒定的電場力和恒定的重力及洛倫茲力作用．由于電場力和重力兩力的合力恒定，其在垂直于油滴速度方向的分力亦恒定，而洛倫茲力始終和速度方向垂直，因此欲使油滴做直線運動，其在速度的垂直方向上所受合外力應為零，可見油滴所受洛倫茲力應為恒力．所以，油滴在x＜0區(qū)域內的直線運動應為勻速運動．利用共點力平衡條件可求出油滴所受的洛倫茲力，繼而可求出其運動速率． 　　油滴在x＞0的區(qū)域做勻速圓周運動，由做勻速圓周運動的條件——合外力大小恒定且始終和速度方向垂直知，只有除洛倫茲力以外的其他恒力——重力和電場力的合力為零，由此可斷定x＞0區(qū)域內電場方向應豎直向上，且應滿足qE＝mg，從而可求出E＝mg/q．至于所求時間，應分段予以計算，先由幾何關系求出半徑和MP的關系，可求出油滴在x＜0區(qū)域內的運動時間t1，再根據(jù)幾何關系求出油滴在x＞0區(qū)域內所做勻速圓周運動對應的圓心角，利用周期和油滴在x＞0區(qū)域內做圓周運動時間的關系可求其運動時間t2，t1、t2相加即為所求時間．