Question

如圖所示，坐標(biāo)系xOy在豎直平面內(nèi)，水平軌道AB和斜面BC均光滑且絕緣，AB和BC的長度均為L，斜面BC與水平地面間的夾角θ=60°，有一質(zhì)量為m、電量為+q的帶電小球（可看成質(zhì)點(diǎn)）被放在A點(diǎn)．已知在第一象限分布著互相垂直的勻強(qiáng)電場和勻強(qiáng)磁場，電場方向豎直向上，場強(qiáng)大小E2=

mg

q

，磁場為水平方向（圖中垂直紙面向外），磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B；在第二象限分布著沿x軸正向的水平勻強(qiáng)電場，場強(qiáng)大小E1=

B2qL

6m

．現(xiàn)將放在A點(diǎn)的帶電小球由靜止釋放，求：
（1）小球運(yùn)動到B點(diǎn)時(shí)的速度；
（2）小球需經(jīng)多少時(shí)間才能落到地面（小球所帶的電量不變）？

Answer 1

分析：（1）小球加速，只有電場力做功，根據(jù)動能定理列式求解即可；
（2）小球直線加速過程可以根據(jù)動量定理求加速時(shí)間，小球在復(fù)合場中，合力等洛倫茲力，做圓周運(yùn)動，畫出軌跡，求出圓心角，得到運(yùn)動時(shí)間．

解答：解：（1）設(shè)帶電小球運(yùn)動到B點(diǎn)時(shí)速度為v_B，則由功能關(guān)系，得到：
E₁qL=

1

2

m

v

2 B

  ①
 解得：
v_B=

3 BLq

3m

即小球運(yùn)動到B點(diǎn)時(shí)的速度為

3 BLq

3m

．
（2）設(shè)帶電小球從A點(diǎn)運(yùn)動到B點(diǎn)用時(shí)為t₁，
則由動量定理：E₁qt₁=mv_B
解得：t₁=2

3

m

qB

    ②
當(dāng)帶電小球進(jìn)入第二象限后所受電場力為
F_電=E₂q=mg   ③
所以帶電小球做勻速圓周運(yùn)動，如圖，洛倫茲力提供向心力

Bqv_B=m

v 2 B

R

   ④
則帶電小球做勻速圓周運(yùn)動的半徑
R=

mvB

qB

=

3

3

L  ⑤
其圓周運(yùn)動的圓心為如圖所示的O′點(diǎn)，根據(jù)幾何關(guān)系，有
BO=BC?cos30°=

3

2

L
O′O=BO-R=

3

6

L
OC=BC?cos60°=

1

2

L
假設(shè)小球直接落在水平面上的C′點(diǎn)，則
OC′=

R2-(OO′)2

=

1

2

L=OC
∴C′與C重合重合，小球正好打在C點(diǎn)．              
圓周運(yùn)動時(shí)間為
t₂=

1

3

T=

2πm

3qB

小球運(yùn)動的總時(shí)間為
t=t₁+t₂=2

3

m

qB

+

2πm

3qB

所以小球從A點(diǎn)出發(fā)到落地的過程中所用時(shí)間2

3

m

qB

+

2πm

3qB

．

點(diǎn)評：本題中帶電小球先加速后做圓周運(yùn)動，關(guān)鍵是畫出軌跡圖，結(jié)合幾何關(guān)系進(jìn)行分析．