Question

8．如圖所示，兩足夠長(zhǎng)平行光滑的金屬導(dǎo)軌MN、PQ相距為L(zhǎng)，導(dǎo)軌平面與水平面的夾角θ=30°，導(dǎo)軌電阻不計(jì)．磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直導(dǎo)軌平面向上，長(zhǎng)為L(zhǎng)的金屬棒ab垂直于MN、PQ放置在導(dǎo)軌上，且始終與導(dǎo)軌接觸良好，金屬棒的質(zhì)量為m、電阻為R．兩金屬導(dǎo)軌的上端連接右端電路，燈泡的電阻R_L=4R，定值電阻R₁=2R，電阻箱電阻調(diào)到R₂=12R，重力加速度為g，現(xiàn)將金屬棒由靜止釋放，試求：
（1）金屬棒下滑的最大速度v_m為多大？
（2）當(dāng)金屬棒下滑距離為S₀時(shí)速度恰達(dá)到最大，求金屬棒由靜止開(kāi)始下滑2S₀的過(guò)程中，整個(gè)電路產(chǎn)生的電熱；
（3）金屬桿在加速下滑過(guò)程中，當(dāng)速度達(dá)到$\frac{1}{2}$v_m時(shí)，求此時(shí)桿的加速度大��；
（4）改變電阻箱R₂的值，當(dāng)R₂為何值時(shí)，金屬棒達(dá)到勻速下滑時(shí)R₂消耗的功率最大．

Answer 1

分析 （1）金屬棒ab先加速下滑，所受的安培力增大，加速度減小，后勻速下滑，速度達(dá)到最大．由閉合電路歐姆定律、感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)和安培力公式推導(dǎo)出安培力的表達(dá)式，根據(jù)平衡條件求解最大速度．
（2）當(dāng)金屬棒下滑直到速度達(dá)到最大的過(guò)程中，金屬棒的機(jī)械能減小轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，根據(jù)能量守恒定律求解電熱Q；
（3）根據(jù)牛頓第二定律來(lái)分析求解加速度大��；
（4）R₂消耗的功率P=$\frac{{U}^{2}}{{R}_{2}}$，而U=IR_并，金屬棒勻速下滑時(shí)，重力的功率等于電路的電功率，得到mgsin30°=$\frac{{B}^{2}hws4vmh^{2}v}{3R+{R}_{并}}$，聯(lián)立得到R₂功率P與R₂的關(guān)系式，由數(shù)學(xué)知識(shí)求最值．

解答 解：（1）當(dāng)金屬棒勻速下滑時(shí)速度最大，設(shè)最大速度為v_m，達(dá)到最大時(shí)，則根據(jù)平衡條件有：
mgsinθ=F_安                                             
根據(jù)安培力計(jì)算公式可得：F_安=ILB，
根據(jù)閉合電路的歐姆定律可得：I=$\frac{BL{v}_{m}}{{R}_{總}(cāng)}$                          
電路總電阻為：R_總=R₁+R+$\frac{{R}_{2}{R}_{L}}{{R}_{2}+{R}_{L}}$=6R，
解得最大速度v_m=$\frac{3mgR}{{B}^{2}{L}^{2}}$；
（2）由能量守恒知：mg•2S₀•sinθ=Q+$\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$，
解得Q=mgs₀-$\frac{9{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{2{B}^{4}{L}^{4}}$；
（3）金屬棒速度最大時(shí)受力平衡，有mgsinθ=$\frac{{B}^{2}1sx4d77^{2}{v}_{m}}{6R}$
金屬棒達(dá)到最大速度的一半時(shí)受到的安培力大小為F_A=$\frac{{B}^{2}3vjuiwz^{2}•\frac{1}{2}{v}_{m}}{6R}=\frac{1}{2}mg$，
根據(jù)牛頓第二定律可得mgsin30°-F_A=ma，
解得：a=$\frac{1}{2}g$；
（4）R₂消耗的功率P=$\frac{{U}^{2}}{{R}_{2}}$，而U=IR_并=$\frac{{R}_{并}}{{R}_{并}+3R}$BLv，
R_并=$\frac{4R{R}_{2}}{4R+{R}_{2}}$
又金屬棒勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，mgsin30°=$\frac{{B}^{2}datk49u^{2}v}{3R+{R}_{并}}$
代入得到P=$\frac{（mgsin30°）^{2}}{{B}^{2}{L}^{2}}•\frac{16{R}^{2}{R}_{2}}{（4R+{R}_{2}）^{2}}$=$\frac{{m}^{2}{g}^{2}}{4{B}^{2}{L}^{2}}•\frac{16{R}^{2}}{\frac{16{R}^{2}}{{R}_{2}}+8R+{R}_{2}}$
由數(shù)學(xué)知識(shí)得：當(dāng)$\frac{16{R}^{2}}{{R}_{2}}$=R₂時(shí)，即R₂=4R時(shí)，R₂消耗的功率P最大，
最大值為P_m=$\frac{{m}^{2}{g}^{2}R}{4{B}^{2}{L}^{2}}$．
答：（1）金屬棒下滑的最大速度v_m為$\frac{3mgR}{{B}^{2}{L}^{2}}$；
（2）當(dāng)金屬棒下滑距離為S₀時(shí)速度恰達(dá)到最大，求金屬棒由靜止開(kāi)始下滑2S₀的過(guò)程中，整個(gè)電路產(chǎn)生的電熱為mgs₀-$\frac{9{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{2{B}^{4}{L}^{4}}$；
（3）金屬桿在加速下滑過(guò)程中，當(dāng)速度達(dá)到$\frac{1}{2}$v_m時(shí)，此時(shí)桿的加速度大小為$\frac{1}{2}g$；
（4）改變電阻箱R₂的值，當(dāng)R₂為4R時(shí)，金屬棒達(dá)到勻速下滑時(shí)R₂消耗的功率最大．

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于電磁感應(yīng)問(wèn)題研究思路常常有兩條：一條從力的角度，根據(jù)牛頓第二定律或平衡條件列出方程；另一條是能量，分析涉及電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的能量轉(zhuǎn)化問(wèn)題，根據(jù)動(dòng)能定理、功能關(guān)系等列方程求解．