Question

7．磁流體發(fā)電具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、啟動(dòng)快捷、環(huán)保且無(wú)需轉(zhuǎn)動(dòng)機(jī)械等優(yōu)勢(shì)．如圖所示，是正處于研究階段的磁流體發(fā)電機(jī)的簡(jiǎn)易模型圖，其發(fā)電通道是一個(gè)長(zhǎng)方體空腔，長(zhǎng)、高、寬分別為l、a、b，前后兩個(gè)側(cè)面是絕緣體，上下兩個(gè)側(cè)面是電阻可忽略的導(dǎo)體電極，這兩個(gè)電極通過(guò)開(kāi)關(guān)與阻值為R的某種金屬直導(dǎo)體MN連成閉合電路，整個(gè)發(fā)電通道處于勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B，方向垂直紙面向里．高溫等離子體以不變的速率v水平向右噴入發(fā)電通道內(nèi)，發(fā)電機(jī)的等效內(nèi)阻為r，忽略等離子體的重力、相互作用力及其他因素．
（1）求該磁流體發(fā)電機(jī)的電動(dòng)勢(shì)大小E；
（2）當(dāng)開(kāi)關(guān)閉合后，整個(gè)閉合電路中就會(huì)產(chǎn)生恒定的電流．
a．要使等離子體以不變的速率v通過(guò)發(fā)電通道，必須有推動(dòng)等離子體在發(fā)電通道內(nèi)前進(jìn)的作用力．如果不計(jì)其它損耗，這個(gè)推力的功率P_T就應(yīng)該等于該發(fā)電機(jī)的總功率P_D，請(qǐng)你證明這個(gè)結(jié)論；
b．若以該金屬直導(dǎo)體MN為研究對(duì)象，由于電場(chǎng)的作用，金屬導(dǎo)體中自由電子定向運(yùn)動(dòng)的速率增加，但運(yùn)動(dòng)過(guò)程中會(huì)與導(dǎo)體內(nèi)不動(dòng)的粒子碰撞從而減速，因此自由電子定向運(yùn)動(dòng)的平均速率不隨時(shí)間變化．設(shè)該金屬導(dǎo)體的橫截面積為s，電阻率為ρ，電子在金屬導(dǎo)體中可認(rèn)為均勻分布，每個(gè)電子的電荷量為e．求金屬導(dǎo)體中每個(gè)電子所受平均阻力的大小f．

Answer 1

分析 （1）等離子體受到洛倫茲力發(fā)生偏轉(zhuǎn)，根據(jù)正電荷的偏轉(zhuǎn)方向確定直流電源的正極．最終電荷在電場(chǎng)力和洛倫茲力作用下處于平衡，根據(jù)平衡求出電源的電動(dòng)勢(shì)；
（2）根據(jù)閉合電路歐姆定律計(jì)算電流大小，得出安培力大小，再由功率表達(dá)式，從而即可證明；
依據(jù)電流的定義式，與電阻定律，即可求解．

解答 解：（1）當(dāng)外電路斷開(kāi)時(shí)，極板間的電壓大小等于電動(dòng)勢(shì)．
此時(shí)，發(fā)電通道內(nèi)電荷量為q的離子受力平衡．有：$qvB=q\frac{E}{a}$①
可得：E=Bav②
（2）a．當(dāng)電鍵閉合，由歐姆定律可得：$I=\frac{E}{R+r}$③
該電流在發(fā)電通道內(nèi)受到的安培力大小為：F_A=BIa④
要使等離子體做勻速直線運(yùn)動(dòng)，所需的推力為：F_T=F_A⑤
推力F的功率為：P_T=F_Tv⑥
聯(lián)立②③④⑤⑥可得：${P_T}=\frac{{{B^2}{a^2}{v^2}}}{R+r}$⑦
閉合電路中發(fā)電機(jī)的總功率為：P_D=IE⑧
聯(lián)立②③⑧可得：${P_D}=\frac{{{B^2}{a^2}{v^2}}}{R+r}$⑨
由⑦⑨可得：P_T=P_D
可見(jiàn)，推力的功率P_T就等于該發(fā)電機(jī)的總功率P_D．
b：設(shè)金屬導(dǎo)體R內(nèi)電子運(yùn)動(dòng)的平均速率為v₁，單位體積內(nèi)的電子數(shù)為n，
t時(shí)間內(nèi)有N個(gè)電子通過(guò)電阻的橫截面，則：
11N=v₁tsn⑩
t時(shí)間內(nèi)通過(guò)橫截面的電荷量為：Q=Ne
電流為：$I=\frac{Q}{t}$
聯(lián)立②③⑩式可得：${v_1}=\frac{Bav}{（R+r）nes}$
設(shè)金屬導(dǎo)體中的總電子數(shù)為N₁，長(zhǎng)度為d，由于電子在金屬導(dǎo)體內(nèi)可視為勻速直線運(yùn)動(dòng)，
所以電場(chǎng)力的功率（電功率）應(yīng)該等于所有電子克服阻力f做功的功率，即：
14I²R=N₁fv₁
15N₁=dsn
由電阻定律得：$R=\frac{ρS}hhn3xxv$
聯(lián)立②③式可得：$f=\frac{Baveρ}{（R+r）s}$
答：（1）求該磁流體發(fā)電機(jī)的電動(dòng)勢(shì)大小Bav；
（2）a．證明如上所述；
b．金屬導(dǎo)體中每個(gè)電子所受平均阻力的大小$\frac{Baveρ}{（R+r）s}$

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握左手定則判斷洛倫茲力的方向，以及會(huì)根據(jù)電荷的平衡求出電動(dòng)勢(shì)的大小，即極板間的電勢(shì)差；并掌握電阻定律與電流的定義式的內(nèi)容．
第二問(wèn)：（另一解法）設(shè)金屬導(dǎo)體的長(zhǎng)度為d，電阻為R，由電阻定律得：$R=\frac{ρS}z3pfdzx$
金屬導(dǎo)體兩端的電壓為：U_R=IR
金屬導(dǎo)體內(nèi)的電場(chǎng)可看作勻強(qiáng)電場(chǎng)，設(shè)場(chǎng)強(qiáng)大小為E₀，則：U_R=E₀d
電子在金屬導(dǎo)體內(nèi)勻速直線運(yùn)動(dòng)，阻力等于電場(chǎng)力，則：f=eE₀
聯(lián)立②③式可得：$f=\frac{Baveρ}{（R+r）s}$；