Question

10．如圖xOy坐標(biāo)系，第一象限有一對(duì)電壓為U₁=3×10⁴V的平行金屬板，板間距離和板長(zhǎng)均為L(zhǎng)=40cm，板的右側(cè)有一粒子接收器屏，下極板剛好在x軸上且?guī)д�電，第二象限有一半徑為R=20cm的圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)，分別與x軸y軸在C點(diǎn)和D點(diǎn)相切，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.1T 方向垂直直面向外，第三象限有一個(gè)半圓形帶正電的電極AO，圓心在C點(diǎn)，在其內(nèi)部存在由電極指向圓心C點(diǎn)的電場(chǎng)，電極與C點(diǎn)的
電勢(shì)差為U₂=1×10⁴V．現(xiàn)有許多m=6.4×10^-27  kg、q=+3.2×10^-19C的粒子在圓形電極處?kù)o止釋放．不考慮各場(chǎng)之間的影響和粒子之間的相互作用．求：
（1）粒子在C點(diǎn)的速度；
（2）粒子擊中y軸的范圍；
（3）粒子接收屏接收到的粒子數(shù)和進(jìn)入平行板總粒子數(shù)的比值K．

Answer 1

分析 （1）由動(dòng)能定理求出粒子經(jīng)輔向電場(chǎng)加速后的速度．
（2）先求得粒子在圓形磁場(chǎng)區(qū)域做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，恰與圓形區(qū)域的半徑相等．而后取某一粒子以任意方向從C點(diǎn)進(jìn)入圓形磁場(chǎng)，設(shè)圓形邊界的某點(diǎn)射出，那么兩圓心與兩交點(diǎn)構(gòu)成菱形，可以證明粒子均水平射出磁場(chǎng)，從而打在y軸的范圍就是直徑．
（3）由于能打在打到接收屏上，所以穿過(guò)平行板的時(shí)間就能求出，那么在該時(shí)間內(nèi)粒子向上做勻加速位移就能求出，從而知道在y軸上哪些范圍內(nèi)出發(fā)的粒子能穿出就能求出，從而求出粒子接收屏接收到的粒子數(shù)和進(jìn)入平行板總粒子數(shù)的比值．

解答 解：（1）電場(chǎng)力做正功，由動(dòng)能定理得：$q{U}_{2}=\frac{1}{2}m{v}^{2}$
   v=1×10⁶m/s
（2）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)
  根據(jù)：$qvB=m\frac{{v}^{2}}{r}$  得 $r=\frac{mv}{qB}=0.2m=R$
   取一粒子速度如圖所示，從E點(diǎn)離開(kāi)，圓周運(yùn)動(dòng)的圓心為O₂，連接CO₁，EO₁，
   因?yàn)镃O₁=EO₁=CO₂=EO₂=R，
   所以四邊形CO₁EO₂是一個(gè)菱形，
   因而EO₂平行于CO₁
   所以E點(diǎn)速度方向水平向右
   由此可見(jiàn)所有粒子水平向右離開(kāi)磁場(chǎng)
   所以y軸擊中范圍0--40cm
（3）粒子水平向右進(jìn)入電容器，做類平拋運(yùn)動(dòng)
   若打到接收屏，則$t=\frac{L}{v}=4×1{0}^{-7}s$
   豎直位移$h=\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{1}{2}×\frac{{U}_{1}q}{Lm}×{t}^{2}=0.3m$
  由于平行板電場(chǎng)方向向上，粒子向上偏轉(zhuǎn)，所以從y軸0--10cm進(jìn)入的粒子能打到接收屏，因此比值K=$\frac{1}{4}$．
答：（1）粒子在C點(diǎn)的速度為1×10⁶m/s．
（2）粒子擊中y軸的范圍是y軸上從0--40cm處．
（3）粒子接收屏接收到的粒子數(shù)和進(jìn)入平行板總粒子數(shù)的比值K為$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題的靚點(diǎn)在于：一是輔向電場(chǎng)使粒子均能從C點(diǎn)進(jìn)入圓形磁場(chǎng)，只是速度大小相同但方向不同；二是可以證明：不同方向進(jìn)入圓形磁場(chǎng)的粒子經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后均水平射出；三是粒子接收屏接收到的粒子數(shù)和進(jìn)入平行板總粒子數(shù)的比值轉(zhuǎn)化為能射出平行板的豎直位移與射向y軸的長(zhǎng)度之比．