Question

19．如圖所示，以O(shè)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系xOy，沿y軸放置一平面足夠大的熒光屏，光屏與x軸垂直，在y＞0，0＜x＜0.5 m的區(qū)蜮有垂直于平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B=0.5T．在原點(diǎn)O處放一個(gè)開(kāi)有小孔的離子源，離子源能同時(shí)放出比荷$\frac{q}{m}$=4.0×10⁶ C/kg的不同速率的正離子，沿x軸成30°角從小孔垂直射入磁場(chǎng)，不計(jì)離子之間的相互作用及離子的重力．求：
（1）能打在熒光屏上的離子的最大速率；
（2）某一時(shí)刻射入磁場(chǎng)的離子結(jié)構(gòu)$\frac{5π}{3}$×10^-7，還留在磁場(chǎng)中的離子所在位置構(gòu)成的曲線方程．

Answer 1

分析 （1）離子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，求出離子的最大軌道半徑，然后應(yīng)用牛頓第二定律求出離子的最大速度．
（2）根據(jù)離子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期公式與離子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，求出軌跡的圓心角，然后求出離子的軌跡方程．

解答 解：（1）離子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
解得：r=$\frac{mv}{qB}$，
v=$\frac{qBr}{m}$，
當(dāng)離子與磁場(chǎng)右邊界相切時(shí)粒子軌道半徑最大，離子速度最大，由幾何知識(shí)得：
r-rsin30°=0.5，
代入數(shù)據(jù)解得：v=2×10⁶m/s；
（2）離子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$=π×10^-6s，
離子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t=$\frac{θ}{360°}$T=$\frac{5π}{3}$×10^-7s，
解得，離子在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角：θ=$\frac{π}{3}$，
設(shè)此時(shí)離子的坐標(biāo)位置為：（x，y），
則有：y=rcos30°，x=r-rsin30°，
解得，軌跡方程為：y=$\sqrt{3}$x  （0≤x≤0.5m）；
答：（1）能打在熒光屏上的離子的最大速率為2×10⁶m/s；
（2）留在磁場(chǎng)中的離子所在位置構(gòu)成的曲線方程為：y=$\sqrt{3}$x  （0≤x≤0.5m）．

點(diǎn)評(píng) 本題是帶電粒子在有界的磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，要充分運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)畫(huà)軌跡，確定軌跡的圓心角，運(yùn)用參數(shù)方程求出離子的軌跡方程．