Question

5．如圖所示，兩對(duì)相互平行的幾何形狀完全相同的正對(duì)平行金屬板a、b與c、d，四板垂直于紙面放置，四板長(zhǎng)均為L(zhǎng)，相鄰兩板間的距離也為L(zhǎng)，板厚度不計(jì)，a與b間與c與d間有相同大小的勻強(qiáng)電場(chǎng)（其它區(qū)域無電場(chǎng)），板右側(cè)區(qū)域I和左側(cè)區(qū)域II 均有垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)（圖中未畫出）．現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電量為q的正粒子從a、b 板間左側(cè)中點(diǎn)O沿極板中軸線以初速度v進(jìn)入平行金屬板a、b板間，恰好從a板右側(cè)邊緣（不接觸）飛出進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域I，隨后恰能從d板右側(cè)邊緣（不接觸）進(jìn)入c、d間并從 c、d間左側(cè)中點(diǎn)O′沿極板中軸線進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域Ⅱ，然后剛好回到a、b極板間O點(diǎn)做周期性運(yùn)動(dòng)．不計(jì)粒子重力，試求：
（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)電場(chǎng)強(qiáng)度大小E；
（2）區(qū)域II的磁場(chǎng)感應(yīng)強(qiáng)度大小B；
（3）粒子從O經(jīng)O′回到O做周期性運(yùn)動(dòng)的周期．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，將粒子的運(yùn)動(dòng)分解，即可求出粒子射出電場(chǎng)時(shí)的速度大小，然后結(jié)合動(dòng)能定理即可求出電場(chǎng)強(qiáng)度的大��；
（2）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，找出粒子運(yùn)動(dòng)的半徑，結(jié)合洛倫茲力提供向心力，即可求出磁感應(yīng)強(qiáng)度；
（3）粒子運(yùn)動(dòng)的周期等于粒子分別在電場(chǎng)中與磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間的和，結(jié)合運(yùn)動(dòng)的軌跡，分別求出各段時(shí)間即可．

解答 解：（1）粒子在電場(chǎng)中沿極板的方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)粒子在a、b板間運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₁，t₁=$\frac{L}{v}$；
沿電場(chǎng)線的方向：$\frac{1}{2}L=\frac{0+{v}_{y}}{2}•{t}_{1}$
所以：v_y=v
知粒子恰好從a、b板右側(cè)邊緣（不接觸）飛出時(shí)速度大小為：$v′=\sqrt{{v}^{2}+{v}_{y}^{2}}=\sqrt{2}v$
粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，電場(chǎng)力做功，得：qE$\frac{1}{2}$L=$\frac{1}{2}$m（$\sqrt{2}$v）²-$\frac{1}{2}$mv²
聯(lián)立得：E=$\frac{m{v}^{2}}{qL}$
（2）由題可知，粒子回到O′點(diǎn)的速度為v，在極板左側(cè)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由圖可知，粒子從O′回到O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)半徑R=L，速率為v，則：
qvB=$\frac{m{v}^{2}}{L}$
得：B=$\frac{mv}{qL}$
（3）畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖：

設(shè)粒子在板右側(cè)區(qū)域Ⅰ運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₂，在c、d板間運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₃，在板左側(cè)區(qū)域Ⅱ運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₄，由運(yùn)動(dòng)對(duì)稱性知t₃=t₁
粒子從O經(jīng)O'回到O做周期性運(yùn)動(dòng)的周期T=2t₁+t₂+t₄
粒子射出電場(chǎng)時(shí)速度的方向與水平方向之間的夾角：$tanθ=\frac{{v}_{y}}{v}=\frac{v}{v}=1$
所以：θ=45°所以由圖中幾何關(guān)系可知，粒子在極板右側(cè)運(yùn)動(dòng)的半徑：${r}_{1}=\frac{\frac{3}{2}L}{cos45°}$=$\frac{{3\sqrt{2}L}}{2}$
粒子運(yùn)動(dòng)的是：t₂=$\frac{\frac{3}{4}×2π{r}_{1}}{\sqrt{2}v}=\frac{9πL}{4v}$
粒子在極板的左側(cè)的運(yùn)動(dòng)軌跡是半個(gè)圓周，所以：t₄=$\frac{1}{2}•\frac{2π{r}_{2}}{v}=\frac{πL}{v}$
粒子從O經(jīng)O'回到O做周期性運(yùn)動(dòng)的周期T=（2+$\frac{13π}{4}$）$\frac{L}{v}$
答：（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)電場(chǎng)強(qiáng)度大小是$\frac{m{v}^{2}}{qL}$；
（2）區(qū)域II的磁場(chǎng)感應(yīng)強(qiáng)度大小是$\frac{mv}{qL}$；
（3）粒子從O經(jīng)O′回到O做周期性運(yùn)動(dòng)的周期是（2+$\frac{13π}{4}$）$\frac{L}{v}$．

點(diǎn)評(píng) 該題考查粒子在電場(chǎng)中與磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，按照規(guī)范化的步驟，做出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系，找出其中的長(zhǎng)度關(guān)系與角度關(guān)系，即可正確解答．