Question

6．如圖所示，在一個(gè)邊長為a的正六邊形區(qū)域內(nèi)存在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場，大量質(zhì)量為m，電荷量為q的正粒子，在不同時(shí)刻以不同速度從A點(diǎn)進(jìn)入磁場（重力不計(jì)，不考慮粒子間的相互作用）問：
（1）沿AD方向入射的粒子，若能從AF邊射出，求這些粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t₁；
（2）沿AD方向入射的粒子，若某粒子恰能垂直DE邊射出，求這種粒子初速度v的大小，以及射出點(diǎn)與E點(diǎn)的距離x；
（3）若粒子可以從A點(diǎn)沿紙面內(nèi)各個(gè)方向射入磁場，且在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑均為2a，若要使粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長，求粒子入射方向與AD方向夾角θ的大小，以及最長時(shí)間t_m的大小．

Answer 1

分析 （1）作出運(yùn)動(dòng)軌跡，結(jié)合幾何知識(shí)求出粒子的軌道半徑，然后根據(jù)牛頓第二定律列式求解運(yùn)動(dòng)時(shí)間；
（2）洛侖茲力提供向心力，找出圓心，結(jié)合牛頓第二定律列式求解速度；
（3）要使粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長，則圓弧對(duì)應(yīng)的弦長最長，故應(yīng)該是從D點(diǎn)離開磁場，畫出運(yùn)動(dòng)軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系得到圓心角和初速度方向，根據(jù)公式$t=\frac{θ}{2π}T$求解最長時(shí)間t_m的大�。�

解答 解：（1）設(shè)粒子在正六邊形區(qū)域磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r₁，初速度大小為v₁，則有：
$q{v_1}B=\frac{mv_1^2}{r_1}$
由幾何關(guān)系可得：
${r_1}=\frac{a}{2sin60°}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}a$
畫出規(guī)矩，如圖所示：

由于△OAE中，AE=$\sqrt{3}$r₁，故圓心角為120°，故運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：
t₁=$\frac{T}{3}$=$\frac{1}{3}×\frac{2πm}{qB}$=$\frac{2πm}{3qB}$
（2）某粒子恰能垂直DE邊射出，粒子在正六邊形區(qū)域磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r₂，由幾何關(guān)系可得：

AE=2acos30°=$\sqrt{3}$a
故軌道半徑：r₂=$\frac{AE}{sin30°}$=2$\sqrt{3}$a
根據(jù)牛頓第二定律，有：
$qvB=m\frac{v^2}{r_2}$
解得：
v=$\frac{{2\sqrt{3}qBa}}{m}$
結(jié)合幾何關(guān)系，有：OE=$\frac{AE}{tan30°}$=3a
故EG=r₂-OE=（2$\sqrt{3}$-3）a
（3）粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長，故AD為軌跡圓對(duì)應(yīng)的弦，畫出軌跡，如圖所示：

故初速度方向與AB邊成30°角；
對(duì)應(yīng)的圓心角為60°，故運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：
t_m=$\frac{60°}{360°}T$=$\frac{T}{6}$=$\frac{1}{6}×\frac{2πm}{qB}$=$\frac{πm}{3qB}$
答：（1）沿AD方向入射的粒子，若能從AF邊射出，這些粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t₁為$\frac{2πm}{3qB}$；
（2）沿AD方向入射的粒子，若某粒子恰能垂直DE邊射出，這種粒子初速度v的大小為$\frac{2\sqrt{3}qBa}{m}$，以及射出點(diǎn)與E點(diǎn)的距離x為（2$\sqrt{3}$-3）a；
（3）粒子入射方向與AD方向夾角θ的大小為30°斜向下，最長時(shí)間t_m的大小為$\frac{πm}{3qB}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是明確粒子的運(yùn)動(dòng)是勻速圓周運(yùn)動(dòng)，找出圓心、畫出運(yùn)動(dòng)軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系和牛頓第二定律列式求解，不難．