Question

17．Q為一個原來靜止在光滑水平面上的物體，質(zhì)量為M，它帶有一個凹形的不光滑軌道，軌道的ab段是水平的直線，bc段是位于豎直平面內(nèi)半徑為R的$\frac{1}{4}$圓弧，ab恰是圓弧bc的切線，P是另一個可看作質(zhì)點的小物體，質(zhì)量為m，它與軌道間的動摩擦因數(shù)為μ，物體P以沿水平方向的初速度v₀沖上Q的軌道，已知它恰好能到達(dá)軌道頂端c點，后又沿軌道滑下，并最終在a點停止滑動，然后與Q一起在水平面上運動．
①求P從a點滑動到c點的過程中，系統(tǒng)產(chǎn)生的熱量；
②經(jīng)過軌道的哪個位置時（要求用圖中的角θ表示），Q的速度達(dá)到最大？

Answer 1

分析 （1）當(dāng)P到達(dá)C點，P、Q具有共同的水平速度v，根據(jù)系統(tǒng)水平方向動量守恒，求出共同速度，再根據(jù)系統(tǒng)的能量守恒列方程，求解熱量Q．
（2）分析P從C滑到b的過程中Q的受力，作出力圖，只有Q在水平方向受力平衡時速度才最大，即可根據(jù)力圖求解．

解答 解：（1）當(dāng)P到達(dá)C點，P、Q具有共同的水平速度v，則系統(tǒng)水平方向動量守恒有：
mv₀=（m+M）v
根據(jù)系統(tǒng)的能量守恒有：$\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$（m+M）v²+mgR+Q
Q=$\frac{Mm{v}_{0}^{2}}{2（m+M）}$-mgR
（2）分析P從C滑到b的過程中Q的受力．如圖所示，只有Q在水平方向受力平衡時速度才最大，此時有
fcosθ=Nsinθ
而 f=μN
故tgθ=μ
即P所在位置的半徑與豎直方向的夾角為θ=arctgμ
答：
（1）P從a點滑動到C點過程中，系統(tǒng)產(chǎn)生的熱量為$\frac{Mm{v}_{0}^{2}}{2（m+M）}$-mgR；
（2）P所在位置的半徑與豎直方向的夾角為θ=arctgμ時，Q的速度達(dá)到最大

點評 本題是系統(tǒng)水平方向動量守恒和能量守恒的綜合題，關(guān)鍵要根據(jù)Q的受力情況，判斷出其在水平方向的合力為零時速度最大這個臨界條件．